Anzahl der vesch. Primteiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:20 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Lynx |
| Aufgabe | Hi! Ich schlage mich schon seit 2 Tagen mit folgender Aufgabe:
Man zeige: Für natürliches n (größer 0) muss man die folg. Ungleichung zeigen:
[mm] \omega( \vektor{2n \\ n}) [/mm] >= [mm] \bruch{2(2n-1) ln2 - lnn}{2ln2n }
[/mm]
wobei für natürliches m ist [mm] \omega(m) [/mm] die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. |
Es wäre vielleicht hilfreich, wenn ich [mm] \omega( \vektor{2n \\ n}) [/mm] und [mm] v_p( \vektor{2n \\ n}) [/mm] (Anzahl der Primzahl p in [mm] \vektor{2n \\ n}) [/mm] irgendwie verbinden könnte, um diese Ungleichung zu zeigen, denn z.B. [mm] v_p(m!)= \summe_{k=1}^{infty} \[m/p^k\] [/mm] und [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] kann ich offensichtlich als [mm] (2n)!/(n!)^2 [/mm] darstellen. Hat jemand eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lynx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Lynx!
> Hi! Ich schlage mich schon seit 2 Tagen mit folgender
> Aufgabe:
> Man zeige: Für natürliches n (größer 0) muss man die folg.
> Ungleichung zeigen:
>
> [mm]\omega( \vektor{2n \\ n})[/mm] >= [mm]\bruch{2(2n-1) ln2 - lnn}{2ln2n }[/mm]
>
> wobei für natürliches m ist [mm]\omega(m)[/mm] die Anzahl der
> verschiedenen Primteiler von m.
Habt ihr eine Formel, die die Anzahl der Primzahlen zwischen $1$ und $m$ nach oben und nach unten abschaetzt? Damit koenntest du die Primzahlen zwischen $n+1$ und $2n$ abschaetzen; vielleicht kannst du damit was anfangen.
> Es wäre vielleicht hilfreich, wenn ich [mm]\omega( \vektor{2n \\ n})[/mm]
> und [mm]v_p( \vektor{2n \\ n})[/mm] (Anzahl der Primzahl p in
> [mm]\vektor{2n \\ n})[/mm] irgendwie verbinden könnte, um diese
> Ungleichung zu zeigen, denn z.B. [mm]v_p(m!)= \summe_{k=1}^{infty} \[m/p^k\][/mm]
> und [mm]\vektor{2n \\ n}[/mm] kann ich offensichtlich als
> [mm](2n)!/(n!)^2[/mm] darstellen. Hat jemand eine Idee?
Ich glaube nicht dass du damit weiterkommst...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 01.06.2006 | | Autor: | Lynx |
Danke für den Tipp, aber ich kann damit trotzdem nichts beweisen... Die Abschätzung ist ziemlich gut, ich kann dazwischen nichts reinquetschen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Fr 02.06.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
kennst Du die Eulersche phi-Funktion? Für p prim, n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] \phi (p^{n}) [/mm] := [mm] p^{n}-p^{n-1}.
[/mm]
Für teilerfremde m,n ist phi ein Homomorphismus, also gilt dann
[mm] \phi [/mm] (m*n) = [mm] \phi [/mm] (m) * [mm] \phi [/mm] (n)
Die Funktion gibt für vorgegebenes n die Zahl der m an, 1 [mm] \le [/mm] m [mm] \le [/mm] n-1, die teilerfremd zu n sind.
Ein Beispiel:
[mm] \phi [/mm] (18) = [mm] \phi (2*3^{2}) [/mm] = [mm] \phi [/mm] (2) [mm] \phi (3^{2}) [/mm] = [mm] (2-1)*(3^{2}-3) [/mm] = 6.
Es gibt also 6 (natürliche) Zahlen, die teilerfremd zu 18 sind - in diesem Fall 1,5,7,11,13,17 (Die 1 zählt mit dazu, ist ja keine Primzahl)
Hoffe, das hilft Dir weiter 
LG Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Fr 02.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Matthias!
> Hallo,
> kennst Du die Eulersche phi-Funktion? Für p prim, n [mm]\in \IN[/mm]
> gilt
> [mm]\phi (p^{n})[/mm] := [mm]p^{n}-p^{n-1}.[/mm]
> Für teilerfremde m,n ist phi ein Homomorphismus, also gilt
> dann
> [mm]\phi[/mm] (m*n) = [mm]\phi[/mm] (m) * [mm]\phi[/mm] (n)
> Die Funktion gibt für vorgegebenes n die Zahl der m an, 1
> [mm]\le[/mm] m [mm]\le[/mm] n-1, die teilerfremd zu n sind.
> Ein Beispiel:
> [mm]\phi[/mm] (18) = [mm]\phi (2*3^{2})[/mm] = [mm]\phi[/mm] (2) [mm]\phi (3^{2})[/mm] =
> [mm](2-1)*(3^{2}-3)[/mm] = 6.
> Es gibt also 6 (natürliche) Zahlen, die teilerfremd zu 18
> sind - in diesem Fall 1,5,7,11,13,17 (Die 1 zählt mit dazu,
> ist ja keine Primzahl)
> Hoffe, das hilft Dir weiter
Ich verstehe nicht, was dies mit der eigentlichen Aufgabe zu tun hat. Koenntest du das ein wenig erlaeutern?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 04.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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