Anzahl p-Sylowuntergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 09.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für alle Primteiler p von |G| alle p-Sylowuntergruppen von G in den Fällen
a) G = Z/2500Z
b) G = Sym3
c) G = Sym4 |
Hallo Leute,
könnt ihr bitte mal über meine Lösung drüber schauen und diese evtl. verbessern, da ich bei dem Thema noch sehr unsicher bin.
zur a)
Es gilt 2500 = [mm] 2^2 [/mm] * [mm] 5^4
[/mm]
Gemäß dem 1. Sylow Satz existieren also Untergruppen H und H' von G mit
|H| = 4 , [G:H] = 625
|H'| = 625, [G:H'] = 4
Es existieren also 2-Sylowuntergruppen und 5-Sylowuntergruppen.
Für die Anzahl der 2-Sylowuntergruppe muss gelten:
- S2 = 1 mod 2, d.h. S2 [mm] \in [/mm] {1,3,5....}
- S2 teilt [mm] 5^4
[/mm]
Für die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen muss gelten:
- S5 = 1 mod 5, d.h. S5 [mm] \in [/mm] {1,6,11.....}
- S5 teilt [mm] 2^2
[/mm]
Alle Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch und insbesondere abelsch und insbesondere Normalteiler.
Folglich ist H [mm] \cong \IZ4 \cong \IZ2 [/mm] x [mm] \IZ2 [/mm] und H' [mm] \cong \IZ625 \cong \IZ5 [/mm] x [mm] \IZ5 [/mm] x [mm] \IZ5 [/mm] x [mm] \IZ5
[/mm]
Weiter ist wegen |G| = |H|*|H'| mit H,H' [mm] \in [/mm] G auch H*H' = G. Da |H| [mm] \not= [/mm] |H'| ist H [mm] \cap [/mm] H' = {eG}. Damit folgt
G [mm] \cong [/mm] H x H'
[mm] \cong $\IZ4$ [/mm] x [mm] $\IZ625$
[/mm]
[mm] \cong $\IZ2$ [/mm] x [mm] $\IZ2$ [/mm] x [mm] $\IZ625$
[/mm]
[mm] \cong $\IZ4$ [/mm] x [mm] $\IZ5$ [/mm] x [mm] $\IZ5$ [/mm] x [mm] $\IZ5$ [/mm] x [mm] $\IZ5$
[/mm]
[mm] \cong $\IZ2$ [/mm] x [mm] $\IZ2$ [/mm] x [mm] $\IZ5$ [/mm] x [mm] $\IZ5$ [/mm] x [mm] $\IZ5$ [/mm] x [mm] $\IZ5$ [/mm]
Damit sind alle p-Sylowuntergruppen gefunden.
b)Sym3 beschreibt die symmetrische Gruppe mit genau 3!=6 Elementen. Es gilt 6 = 3*2. Damit gibt es 2-Sylowgruppen und 3-Sylowgruppen.
Für die Anzahl der 2-Sylows muss gelten:
- S2 = 1 mod 2, d.h. S2 [mm] \in [/mm] {1,3,5,7....}
- S2 teilt 3
Also S2 = 1 oder S2 = 3
Die Anzahl der 2-Sylows beschreibt also genau die Gruppe der Transpositionen. Es gilt {id, (1 2)}, {id, (1 3)}, {id, (2 3)}.
Für die Anzahl der 3-Sylows muss gelten:
- S3 = 1 mod 3, d.h. S3 [mm] \in [/mm] {1, 4, 7....}
- S3 teilt 2
Also S3 = 1
Die einzige Untergruppe mit Ordnung 3 ist damit {id, (1 2 3), (3 2 1)}.
c) Lasse ich erstmal weg, wenn ich weiß, dass a und b richtig sind. Die habe ich nämlich analog zu b gemacht.
Bei b) bin ich mir auch unsicher, wie ich das begründen soll, dass ich nur S2 = 3 betrachte. Weil es gibt ja nicht nur eine Untergruppe mit Ordnung 2.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie für alle Primteiler p von |G| alle
> p-Sylowuntergruppen von G in den Fällen
> a) G = Z/2500Z
> b) G = Sym3
> c) G = Sym4
>
> Hallo Leute,
> könnt ihr bitte mal über meine Lösung drüber schauen
> und diese evtl. verbessern, da ich bei dem Thema noch sehr
> unsicher bin.
>
> zur a)
> Es gilt 2500 = [mm]2^2[/mm] * [mm]5^4[/mm]
> Gemäß dem 1. Sylow Satz existieren also Untergruppen H
> und H' von G mit
> |H| = 4 , [G:H] = 625
> |H'| = 625, [G:H'] = 4
> Es existieren also 2-Sylowuntergruppen und
> 5-Sylowuntergruppen.
> Für die Anzahl der 2-Sylowuntergruppe muss gelten:
> - S2 = 1 mod 2, d.h. S2 [mm]\in[/mm] {1,3,5....}
> - S2 teilt [mm]5^4[/mm]
> Für die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen muss gelten:
> - S5 = 1 mod 5, d.h. S5 [mm]\in[/mm] {1,6,11.....}
> - S5 teilt [mm]2^2[/mm]
Das ist alles durchaus richtig. Aber auch unnötig wegen dem was du jetzt gleich schreibst:
Die Gruppe ist zyklisch, also insbesondere ablesch.
Damit ist jede Untergruppe Normalteiler.
> Alle Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch und
> insbesondere abelsch und insbesondere Normalteiler.
Das ist schön und gut. Wir haben hier aber nirgends Gruppen von Primzahlordnung.
> Folglich ist H [mm]\cong \IZ4 \cong \IZ2[/mm] x [mm]\IZ2[/mm] und H' [mm]\cong \IZ625 \cong \IZ5[/mm]
Bitte, bitte, bitte vergiss das sofort wieder. Das ist Unsinn.
Die Gruppen [mm] $\mathbb [/mm] Z/ 4 [mm] \mathbb [/mm] Z$ und [mm] $\mathbb [/mm] Z /2 [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] \times \mathbb [/mm] Z/ [mm] 2\mathbb [/mm] Z$ können nicht isomorph sein:
Eine Gruppe ist zyklisch, die andere ist es nicht.
> x [mm]\IZ5[/mm] x [mm]\IZ5[/mm] x [mm]\IZ5[/mm]
> Weiter ist wegen |G| = |H|*|H'| mit H,H' [mm]\in[/mm] G auch H*H' =
> G.
Ich sehe nicht wie das folgen soll. Und H und H' sind Untergruppen von G keine Elemente.
> Da |H| [mm]\not=[/mm] |H'| ist H [mm]\cap[/mm] H' = {eG}. Damit >folgt
> G [mm]\cong[/mm] H x H'
> [mm]\cong[/mm] [mm]\IZ4[/mm] x [mm]\IZ625[/mm]
> [mm]\cong[/mm] [mm]\IZ2[/mm] x [mm]\IZ2[/mm] x [mm]\IZ625[/mm]
> [mm]\cong[/mm] [mm]\IZ4[/mm] x [mm]\IZ5[/mm] x [mm]\IZ5[/mm] x [mm]\IZ5[/mm] x [mm]\IZ5[/mm]
> [mm]\cong[/mm] [mm]\IZ2[/mm] x [mm]\IZ2[/mm] x [mm]\IZ5[/mm] x [mm]\IZ5[/mm] x [mm]\IZ5[/mm] x [mm]\IZ5[/mm]
> Damit sind alle p-Sylowuntergruppen gefunden.
> b)Sym3 beschreibt die symmetrische Gruppe mit genau 3!=6
> Elementen. Es gilt 6 = 3*2. Damit gibt es 2-Sylowgruppen
> und 3-Sylowgruppen.
> Für die Anzahl der 2-Sylows muss gelten:
> - S2 = 1 mod 2, d.h. S2 [mm]\in[/mm] {1,3,5,7....}
> - S2 teilt 3
> Also S2 = 1 oder S2 = 3
Ja.
> Die Anzahl der 2-Sylows beschreibt also genau die Gruppe
> der Transpositionen. Es gilt {id, (1 2)}, {id, (1 3)}, {id,
> (2 3)}.
Deine beiden Sätze wiedersprechen sich irgendwie. Der Erste sagt es gibt eine Untergruppe (was auch immer die jetzt genau sein soll).
Die Zweite gibt genau 3 an.
Heißt das nicht, dass es 3 sind?
> Für die Anzahl der 3-Sylows muss gelten:
> - S3 = 1 mod 3, d.h. S3 [mm]\in[/mm] {1, 4, 7....}
> - S3 teilt 2
> Also S3 = 1
> Die einzige Untergruppe mit Ordnung 3 ist damit {id, (1 2
> 3), (3 2 1)}.
Richtig.
> c) Lasse ich erstmal weg, wenn ich weiß, dass a und b
> richtig sind. Die habe ich nämlich analog zu b gemacht.
>
> Bei b) bin ich mir auch unsicher, wie ich das begründen
> soll, dass ich nur S2 = 3 betrachte. Weil es gibt ja nicht
> nur eine Untergruppe mit Ordnung 2.
Ja... Das heißt der eine mögliche Fall tritt halt nicht ein.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 So 09.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> Das ist alles durchaus richtig. Aber auch unnötig wegen > dem was du jetzt gleich schreibst:
> Die Gruppe ist zyklisch, also insbesondere ablesch.
> Damit ist jede Untergruppe Normalteiler.
Okay, danke. Dann lasse ich das darüber einfach weg.
>> Alle Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch und
>> insbesondere abelsch und insbesondere Normalteiler.
>Das ist schön und gut. Wir haben hier aber nirgends >Gruppen von Primzahlordnung.
Ach so. Ich dachte wegen [mm] 2^2 [/mm] und [mm] 5^4 [/mm] ist das gegeben. Aber dann muss ich wohl die 4 und 625 betrachten?!
>Die Gruppen $ [mm] \mathbb [/mm] Z/ 4 [mm] \mathbb [/mm] Z $ und $ [mm] \mathbb [/mm] Z /2 [mm] >\mathbb [/mm] Z [mm] \times \mathbb [/mm] Z/ [mm] 2\mathbb [/mm] Z $ können nicht >isomorph sein:
>Eine Gruppe ist zyklisch, die andere ist es nicht.
Woran siehst du das? Ist [mm] \IZ [/mm] modulo [mm] p$\IZ$ [/mm] nicht immer zyklisch?
Wie kann ich das denn dann besser fortführen? Weil die Anzahl der Sylow-UG habe ich dann ja noch nicht bestimmt. Kann ich den 1 (eigentlich unnötigen Teil) genauso wie in b) aufdröseln? Oder reicht das nicht aus?
> Die Anzahl der 2-Sylows beschreibt also genau die Gruppe
> der Transpositionen. Es gilt {id, (1 2)}, {id, (1 3)}, {id,
> (2 3)}.
>Deine beiden Sätze wiedersprechen sich irgendwie. Der >Erste sagt es gibt eine Untergruppe (was auch immer die >jetzt genau sein soll).
>Die Zweite gibt genau 3 an.
>Heißt das nicht, dass es 3 sind?
Genau, es sind genau 3. Also tritt S2 = 3 ein.
Hier kann ich mir das noch erklären, dass S2 = 1 nicht eintritt - weil es so offensichtlich ist. Aber woran erkenne ich das bei komplizierteren Gruppen?
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> > Das ist alles durchaus richtig. Aber auch unnötig wegen >
> dem was du jetzt gleich schreibst:
> > Die Gruppe ist zyklisch, also insbesondere ablesch.
> > Damit ist jede Untergruppe Normalteiler.
>
> Okay, danke. Dann lasse ich das darüber einfach weg.
>
> >> Alle Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch und
> >> insbesondere abelsch und insbesondere Normalteiler.
>
> >Das ist schön und gut. Wir haben hier aber nirgends
> >Gruppen von Primzahlordnung.
>
> Ach so. Ich dachte wegen [mm]2^2[/mm] und [mm]5^4[/mm] ist das gegeben. Aber
> dann muss ich wohl die 4 und 625 betrachten?!
Ja natürlich.
Würde man deinen Gedaken zu Ende führen wäre jede(!) ü-Sylovgruppe zyklisch.
> >Die Gruppen [mm]\mathbb Z/ 4 \mathbb Z[/mm] und [mm]\mathbb Z /2 >\mathbb Z \times \mathbb Z/ 2\mathbb Z[/mm]
> können nicht >isomorph sein:
> >Eine Gruppe ist zyklisch, die andere ist es nicht.
> Woran siehst du das? Ist [mm]\IZ[/mm] modulo p[mm]\IZ[/mm] nicht immer
> zyklisch?
Durchaus. Aber beim Zweiten ist ein Kreuzprodukt dabei.
Wie viele Elemente hat [mm] mm]\mathbb [/mm] Z /2 [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] \times \mathbb [/mm] Z/ [mm] 2\mathbb [/mm] Z[/mm] ?
Und was sind die Ordnungen der Elemente?
Kann die Gruppe also zyklisch sein?
> Wie kann ich das denn dann besser fortführen? Weil die
> Anzahl der Sylow-UG habe ich dann ja noch nicht bestimmt.
> Kann ich den 1 (eigentlich unnötigen Teil) genauso wie in
> b) aufdröseln? Oder reicht das nicht aus?
>
Die a) kann und sollte man ganz anders angehen als die b).
Die Gruppe ist zyklisch. Wie gessgt sind damit alle Untergruppen Normalteiler. Wie p-Sylovgruppen gibt es damit jeweils?
Ferner sind Untergruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch.
Und bis auf Isomorphie gibt es nur eine zyklische Gruppe der Ordnung n.
Also...
>
> > Die Anzahl der 2-Sylows beschreibt also genau die Gruppe
> > der Transpositionen. Es gilt {id, (1 2)}, {id, (1 3)},
> {id,
> > (2 3)}.
>
> >Deine beiden Sätze wiedersprechen sich irgendwie. Der
> >Erste sagt es gibt eine Untergruppe (was auch immer die
> >jetzt genau sein soll).
> >Die Zweite gibt genau 3 an.
> >Heißt das nicht, dass es 3 sind?
> Genau, es sind genau 3. Also tritt S2 = 3 ein.
> Hier kann ich mir das noch erklären, dass S2 = 1 nicht
> eintritt - weil es so offensichtlich ist.
Wie wär's schlicht mit der Formulierung: Es ist [mm] $S_2=3$ [/mm] da [mm] $S_3$ [/mm] die folgenden drei Untergruppen [...] hat.
> Aber woran
> erkenne ich das bei komplizierteren Gruppen?
Das kommt auf die Gruppe an. Viel mehr Kochrezept als Sylovsätze gibt es nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 So 09.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
Also:
Da G abelsch ist, sind die obigen Sylowgruppen Normalteiler. Damit gibt es jeweils nur eine Sylowuntergruppe und es gilt:
S5 = <4> und S2 = <625>
Kann ich das so begründen? Oder ist das zu kurz gedacht?
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Das ist vollkommen richtig und sauber sowie ausreichend begründet.
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