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| Aufgabe | | Wahr oder falsch? Eine Gruppe ungerader Ordnung kann nicht eine gerade Anzahl an selbstinversen Elementen besitzen. |
Hallo,
ich sitze gerade wieder vor der Examensvorbereitung und stehe mächtig auf dem Schlauch.
Wir haben die Behauptung anhand der Gruppen [mm] (\IZ_{3},[/mm] [mm]+_3[/mm]) und [mm] (\IZ_{5},[/mm] [mm]+_{5}[/mm]) überprüft, in denen gibt es jeweils ein selbstinverses Element. Allgemein konnten wir zeigen, dass jede Gruppe der Form [mm] (\IZ_{n},[/mm] [mm]+_{n}[/mm]) nur ein selbstinverses Element, nämlich das neutrale Element, hat.
Aber wie zeige ich das allgemein für andere Gruppen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Katrin
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> Wahr oder falsch? Eine Gruppe ungerader Ordnung kann nicht
> eine gerade Anzahl an selbstinversen Elementen besitzen.
> Hallo,
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> ich sitze gerade wieder vor der Examensvorbereitung und
> stehe mächtig auf dem Schlauch.
>
> Wir haben die Behauptung anhand der Gruppen [mm](\IZ_{3},[/mm] [mm]+_3[/mm])
> und [mm](\IZ_{5},[/mm] [mm]+_{5}[/mm]) überprüft, in denen gibt es jeweils
> ein selbstinverses Element. Allgemein konnten wir zeigen,
> dass jede Gruppe der Form [mm](\IZ_{n},[/mm] [mm]+_{n}[/mm]) nur ein
> selbstinverses Element, nämlich das neutrale Element,
> hat.
> Aber wie zeige ich das allgemein für andere Gruppen?
Hallo,
nehmen wir also eine Gruppe mit 2n+1 Elementen, von denen 2k Elemente selbstinvers sind.
Die Selbstinversen sortieren wir aus und behalten eine Menge von 2(n-k)+1 Elementen, die alle nicht selbstinvers sind.
Können wir aus den 2(n-k)+1 Elementen Paare zueinander inverser Elemente bilden?
Gruß v. Angela
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Danke für deinen Ansatz, so ganz komme ich damit aber nicht weiter. Wir haben dann ja alle selbstinversen Elemente aussortiert und können dann unter den 2(n-k) + 1 keine selbstinversen Elemente mehr haben.
Aber hätten wir nicht auch annehmen können, dass wir eine ungerade Anzahl an selbstinversen Elementen haben und diese aussortieren?
Wir hätten also 2n+1 Elemente, von denen 2k+1 Elemente selbstinvers sind, mit [mm] n\le [/mm] k.
Dann würden noch 2(n-k) Elemente übrig bleiben, von denen auch keins mehr selbstinvers sein kann....
Kannst du mir vielleicht nochmal helfen? Danke!
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> Danke für deinen Ansatz, so ganz komme ich damit aber
> nicht weiter. Wir haben dann ja alle selbstinversen
> Elemente aussortiert und können dann unter den 2(n-k) + 1
> keine selbstinversen Elemente mehr haben.
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> Aber hätten wir nicht auch annehmen können, dass wir eine
> ungerade Anzahl an selbstinversen Elementen haben und diese
> aussortieren?
> Wir hätten also 2n+1 Elemente, von denen 2k+1 Elemente
> selbstinvers sind, mit [mm]n\le[/mm] k.
> Dann würden noch 2(n-k) Elemente übrig bleiben, von
> denen auch keins mehr selbstinvers sein kann....
Hallo Zottelchen,
dies wäre eben der Fall der tatsächlich möglich ist,
nämlich eine Gruppe mit ungerader Elementezahl,
davon eine ungerade Anzahl selbstinverser.
Die gegenteilige Annahme (ungerade Gruppenord-
nung, aber gerade Anzahl selbstinverser Elemente)
führt eben auf einen Widerspruch, d.h. sie ist nicht
erfüllbar. Die Antwort auf die gestellte Frage ist also:
Die Aussage
"Eine Gruppe ungerader Ordnung kann nicht eine gerade
Anzahl an selbstinversen Elementen besitzen."
ist wahr.
Man nennt diese Methode "Beweis durch Widerspruch".
LG Al-Chw.
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Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung! Die Methode "Beweis durch Widerspruch" ist mir natürlich bekannt, ich konnte einfach (und kann es immer noch nicht) keinen Widerspruch erkennen?
Liegt der Widerspruch wirklich darin, dass es keine selbstinversen Elemente mehr geben kann, weil wir alle heraussortiert haben?
LG
Katrin
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> Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung! Die
> Methode "Beweis durch Widerspruch" ist mir natürlich
> bekannt, ich konnte einfach (und kann es immer noch nicht)
> keinen Widerspruch erkennen?
>
> Liegt der Widerspruch wirklich darin, dass es keine
> selbstinversen Elemente mehr geben kann, weil wir alle
> heraussortiert haben?
Hallo,
letztendlich schon...
Die angenommene gerade Anzahl von selbstinversen Elementen ist aussortiert.
Vor uns auf dem Tisch liegt eine ungerade Anzahl von Elementen, die nicht selbstinvers sind.
Jedes dieser Elemente hat aber genau einen (Gruppe) von sich selbst verschiedenen (sonst wär's aussortiert) inversen Partner.
Ich wiederhole die Frage, die ich im ersten Post stellte: kannst Du solche Paare Element-Inverses bilden?
Gruß v. Angela
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Ja, ich denke schon, da ich ja eine gerade Anzahl unterschiedlicher Elemente habe. Jedes dieser Elemente muss ein Inverses haben, das ebenfalls aus der Menge dieser übriggebliebenen Elemente stammen muss. Dadurch, dass ich eine gerade Anzahl habe, geht es auf. Bei einer ungeraden Anzahl würde ein Element übrigbleiben.
Stimmt das so? Wenn ja, habe ich es endlich verstanden. Danke :)
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> Bei einer ungeraden
> Anzahl würde ein Element übrigbleiben.
Hallo,
das ist der springende Punkt.
(Was Du davor schriebst über "gerade Anzahl" war mir nicht verständlich.)
Denn aufgrund unserer Annahme haben wir eine ungerade Anzahl nichtselbstinverser Elemente, und Du stellst selbst fest, daß dies nicht sein kann.
Also: die Annahme, daß eine gerade Zahl von Elementen selbstinvers ist, führt zum Widerspruch, also muß die Anzahl ungerade sein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Di 10.11.2009 | | Autor: | Zottelchen |
Super, dann habe ich es verstanden. Vielen Dank!
Liebe Grüße
Katrin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Di 10.11.2009 | | Autor: | statler |
> Wahr oder falsch? Eine Gruppe ungerader Ordnung kann nicht
> eine gerade Anzahl an selbstinversen Elementen besitzen.
Hi,
so ganz kann ich die Komplexität dieser Diskussion nicht verstehen. Ein selbstinverses Element, was nicht e ist, erzeugt doch notgedrungen eine U-Gruppe der Ordnung 2, was hier nicht sein kann wegen des Ungeradeseins der Gruppenordnung. Oder war der Satz von Lagrange nicht zugelassen?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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