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Ich frage mich, wie man die Anzahl von möglichen Tonleitern im europäischen Tonsystem ausrechnen kann.
Hierbei setze ich vorraus, das alle 12 Töne des Notensystems als Grundton einer Tonleiter fungieren können. Die Intervalle zwischen den aufeinanderfolgenden Tönen sollen mindestens einen und höchstens 3 Halbtonschritte betragen.
Es gilt demnach: [mm] [/mm]
[mm]12= x\cdot \ {1}+y\cdot \ {2}+z\cdot \ {3}[/mm] [mm]x,y,z = \in\IN\sub[/mm]
Wie viele Möglichkeiten gibt es zur Lösung der Gleichung?
Nun nehme ich an, die Zahlen 1,2 und 3 seien Nummern auf den Kugeln in einer Urne. Da es in einer Tonleiter 7 Intervalle gibt, darf 7x aus der Urne ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge gezogen werden.
Da die Kugeln aber in unbestimmter Menge in der Urne sind (die Menge ist nur durch die obige Gleichung auf die Summe 12 aus den Nummern auf den Kugeln eingegränzt) und da die Warscheinlichkeit für den Zug der verschiedenen Kugeln aus der Urne nicht gleich ist, kann die Formel
[mm]V_n^k = \bruch{n!}{(n-k)!}[/mm]
nicht angewandt werden.
Leider habe ich bis jetzt noch keine bessere Idee gehabt, als alle Möglichkeiten durch ein Baumdiagramm zu Verbildlichen und zu zählen,
was dann wohl eher eine Lebensaufgabe wäre. Ich hoffe nun hier auf zündende Idee, die bei mir bis jetzt ausblieben.
mfg Willi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Sa 17.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Willi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich hab das mal mit Brachialgewalt ausgerechnet. Es gibt 7 Moeglichkeiten:
| 1: | x y z
| | 2: | [1,] 7 1 1
| | 3: | [2,] 5 2 1
| | 4: | [3,] 3 3 1
| | 5: | [4,] 1 4 1
| | 6: | [5,] 4 1 2
| | 7: | [6,] 2 2 2
| | 8: | [7,] 1 1 3
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vg Luis
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Ich habe leider vergessen zu sagen, dass ich die 0 mit zu den natürlichen Zahlen zähle, denn z.B. alle Kirchentonleitern bestehen nur aus Intervallen von 1 und 2 Halbtonschritten. Es egeben sich also noch weitere Lösungswege.
Und vorallem wäre dadurch ein Zwischenergebnis entstanden, leider aber noch kein Endergebnis.
Ich bin trotzdem verblüfft, wie schnell mir geantwortet wurde. :) Das ist wirklich sehr nett, dass sich so spät noch jemand mit Mathefragen die Zeit vertreibt!
Ganz herzlichen Dank also für die schnelle Antwort.
mfg Willi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 So 18.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Gut, dann sind es 19:
| 1: | [,1] [,2] [,3]
| | 2: | [1,] 12 0 0
| | 3: | [2,] 10 1 0
| | 4: | [3,] 8 2 0
| | 5: | [4,] 6 3 0
| | 6: | [5,] 4 4 0
| | 7: | [6,] 2 5 0
| | 8: | [7,] 0 6 0
| | 9: | [8,] 9 0 1
| | 10: | [9,] 7 1 1
| | 11: | [10,] 5 2 1
| | 12: | [11,] 3 3 1
| | 13: | [12,] 1 4 1
| | 14: | [13,] 6 0 2
| | 15: | [14,] 4 1 2
| | 16: | [15,] 2 2 2
| | 17: | [16,] 0 3 2
| | 18: | [17,] 3 0 3
| | 19: | [18,] 1 1 3
| | 20: | [19,] 0 0 4
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vg Luis
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Super, danke! Da bin ich schon einen entscheidenen Schritt weiter!
Vielleicht findet sich ja noch eine Formel dafür.
Und dann fehlt nur noch das Endergebnis.
lg Willi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 So 18.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> Super, danke! Da bin ich schon einen entscheidenen Schritt
> weiter!
>
> Vielleicht findet sich ja noch eine Formel dafür.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Und dann fehlt nur noch das Endergebnis.
Dito. Was genau ist noch gesucht?
vg Luis
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Ohje, ich habe gerade einen Fehler in meinem Gedankengang gefunden, der sogar das Zwischenergebnis wieder umwirft. :(
Eine Tonleiter besteht ja nur aus 7 Tönen! Das heißt es kann nur eine begränzte Zahl von Intervallen geben (nämlich genau 7).
man kann sich das vielleicht vorstellen, indem man die noten nummeriet:
c = 1
cis = 2
d = 3
dis =4
e =5
f =6
fis =7
g =8
gis =9
a =10
ais =11
h =12
c =1
In einer Tonleiter dürfen jetzt aber nur 7 der Aufgeführten Töne/Zahlen vorkommen. Die intervalle dazwischen dürfen aber nicht 3 Schritte überschreiten. Das heißt Nummer 1,2,3,4,5,6,7 kann keine Tonleiter sein, weil das intervall von der Sieben bis zur 1 größer als drei Schritte ist.
Die Endergebnis ist die Frage nach der Gesamtanzahl der Tonleitern. Wie viele Möglichkeiten gibt es aus den Zahlen 1- 12 eine Folge zu Kombinieren, die aus 7 Zahlen besteht und in der die Intervalle zwischen den Zahlen mindestens 1 und höchstens 3 Schritte groß sind.
Ein Schritt ist immer von einer bis zur nächsthöheren Zahl; also 1-2.
Zwischen der Zahl 12 und der Zahl 1 befindet sich auch nur 1 Schritt, sozusagen eine Endlosschleife.
Hmm... ich hoffe ich habe nichts vergessen und alles verständlich erklärt.
lg Willi
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Hallo Willi,
dann will ich mal mit dem Musikerhut kommen und Dir die zweite nötige diophantische Gleichung geben.
Du willst x kleine Sekunden, y große Sekunden und z übermäßige Sekunden in Deiner 7-Ton-Leiter haben. Also müssen folgende beiden Bedingungen gelten:
[mm] \ (I)\ x+2y+3z=12[/mm]
[mm](II) x+\ y+\ z=\ \ 7[/mm]
...woraus leicht auch [mm] y+2z=5 [/mm] folgt. Damit findest Du alle drei Lösungen des Systems ohne Mühe:
y=1, z=2 [mm] \Rightarrow [/mm] x=4 - also (4,1,2)
y=3, z=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=3 - also (3,3,1)
y=5, z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2 - also (2,5,0)
In der letzten Möglichkeit sind alle "Modi" (also Kirchentonarten) enthalten. Das echte Zigeunermoll liegt in der ersten Möglichkeit. Interessant, dass es nicht mehr als zwei übermäßige Sekunden geben kann. Das hätte ich intuitiv nicht erwartet.
Fertig mit Deiner Frage bist Du aber immer noch nicht. Denn nun musst Du noch alle möglichen Reihenfolgen der Intervalle vom Grundton an ermitteln:
Zu Fuß fängt der so an:
1111233
1111323
1111332
1112133
1113123
1113132
1121133
1131123
1131132
1211133
1311123
1311132
2111133
3111123
3111132
1112313
1113213
1113312
[...]
1112223
1112232
1112322
1113222
1121223
1121232
1121322
1131222
[...]
1122222
1212222
1221222
1222122
1222212
1222221
2112222
2121222
[...]
Versuch doch mal, für die drei Lösungen jeweils die möglichen Varianten zu ermitteln.
lg,
reverend
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Ist das Zufall, oder kann ich wirklich in die Formel [mm] \vektor{n\\k} [/mm] einsetzen?
Ich habe mir mal die Mühe gemacht alle Möglichkeiten für x=2, y=5, z=0 aufzuschreiben. Da bin ich dann zu dem Ergebnis gekommen, dass es 21 Möglichkeiten gibt die Zahlen als siebenstellige Ziffer anzuordnen, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird.
Weil ich wirklich keinen blassen Schimmer hatte, habe ich einfach mal alle Formeln durchprobiert die zur Kombinatorik gehören. Und siehe da bei [mm] \vektor{n\\k} [/mm] mit n=7 und k=2 kam ich auf das Ergebnis 21.
Ist das nun Zufall oder habe ich die richtige Formel erwischt?
lg Willi
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Hallo Willi,
nein, kein Zufall. Du hast ja den Fall mit z=0 untersucht, so dass man nur noch x und y betrachten muss. Da gibt es dann logischerweise [mm] \vektor{7\\2}=\vektor{7\\5} [/mm] Möglichkeiten.
Die beiden anderen Intervallverteilungen sind schwieriger. Wenn Du nicht mit einer auszuzählenden Wertetabelle arbeiten willst, solltest Du Dich mit ![[]](/images/popup.gif) Multinomialverteilungen befassen. Ich finde übrigens diesen Artikel informativer und besser verständlich. Darin kennt sich luis52 aber viel besser aus als ich.
Grüße
rev
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uiuiui... da kann man mal sehen, diese Formel hab ich auch noch nie gesehen.
[mm] 7! : (3!\cdot \ 3!\cdot \ 1!) = 140 [/mm]
[mm] 7! : (4!\cdot \ 1!\cdot \ 2!) = 105 [/mm]
Ist das richtig?
lg Willi
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Hallo Willi,
> uiuiui... da kann man mal sehen, diese Formel hab ich auch
> noch nie gesehen.
Dabei ist sie so praktisch... 
> [mm]7! : (3!\cdot \ 3!\cdot \ 1!) = 140[/mm]
>
> [mm]7! : (4!\cdot \ 1!\cdot \ 2!) = 105[/mm]
>
> Ist das richtig?
Sieht ganz so aus. Allerdings darfst Du dann keine Nebenbedingungen haben. Ich finde z.B. Skalen, in denen zwei übermäßige Sekunden aufeinander folgen, sehr unschön. Das gilt auch für eine übermäßige Sekunde, der zwei kleine Sekunden vorangehen bzw. folgen. Solche Bedingungen würden die Rechnung aber deutlich erschweren.
Und was nun? Erweiterst Du Bachs Arbeit am wohltemperierten Klavier? Da waren ja nur 2 Skalen pro Grundton zu erarbeiten (im harmonischen Moll allerdings unterschiedliche Skalen auf- und abwärts); jetzt hättest Du deren 266 zu bewältigen, mal 12 Grundtöne, also 3192 [mm] (=2^3*3*7*19) [/mm] Skalen insgesamt. Ich denke, Du solltest Dich auf Inventionen beschränken und die dreistimmigen Sinfonien als Alterswerk aufheben. Dass die Gesamtzahl durch 12 und durch 7 teilbar ist, wundert nicht, aber hat die 19 (bzw. die verbleibenden 38) einen tieferen Hintergrund?
Viel Erfolg weiterhin!
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Mo 19.10.2009 | | Autor: | willibrix |
Das mit der Einschränkung der Intervalle wäre mein nächster Gedanke gewesen.
Nein ich möchte natürlich keine vorhandenen Stücken verschlimmbessern. Es geht mir lediglich um eine systematische Gliederung der Tonarten und Erforschung der klanglichen auswirkungen, sowie eine ,,Erweiterung des Quintenzirkels". Also alles erstmal nur theoretisch und nur für mich privat... ohne irgendwelche Ansprüche auf Nutzen. :)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 So 18.10.2009 | | Autor: | willibrix |
Obwohl es fett in der Anleitung steht, habe ich es doch vergessen. Es ist natürlich die Formel [mm]{n \choose k}[/mm] gemeint.
lg Willi
edit (reverend): schon gut. Ich hab's mal in die Frage eingefügt, dann ist der Strang leichter lesbar. Und hübscher. 
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
