Approximierbarkeit durch lineare Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Stella |
Hallo Ihrs,
ich habe mal wieder eine Aufgabe mit der ich gar nicht klar komme. Ich finde auch gar kein Schlagwort dazu, dass ich mal in ein paar Büchern rumstöbern kann. Also hier folgt die Aufgabe:
Es sei f: R-> R eine Funktion und a R. Wir sagen, dass f an der Stelle a durch eine lineare (genauer: affin lineare) Funktion mit quadratischem Fehler approximierbar ist, falls b,c R, epsilon >0 und K >0 mit
/f(a+x) - (b+cx)/ <= K x² für alle x ]-epsilon, epsilon[ (1)
existiern.
a) Was beduetet die Definition anschaulich? Zwischen welchen zwei Kurven liegt der Graph von f im Falle a=0? Was glilt im Falle a ungleich 0?
b) Zeige, dass die Funkton f(y) = y², f(y) = y³ und f(y) = epx(y) an jeder Stelle a R mit quadratischem Fehler linear approimierbar sind. Bestimme jeweil b und c.
c) Welchen Wert müssen b und c im algemeinen haben, damit (1) erfüllt sein kann?
Schon mal vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüße
Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Jana!
Ich gebe dir mal ein paar Tipps!
> Es sei f: R-> R eine Funktion und a R. Wir sagen, dass f
> an der Stelle a durch eine lineare (genauer: affin lineare)
> Funktion mit quadratischem Fehler approximierbar ist, falls
> b,c R, epsilon >0 und K >0 mit
>
> /f(a+x) - (b+cx)/ <= K x² für alle x ]-epsilon, epsilon[
> (1)
>
> existiern.
>
> a) Was beduetet die Definition anschaulich? Zwischen
> welchen zwei Kurven liegt der Graph von f im Falle a=0? Was
> glilt im Falle a ungleich 0?
Löst man die Beträge auf, so folgt doch:
[mm]-Kx^2 \le f(a+x) - (b+cx) \le Kx^2[/mm]
für alle $x [mm] \in ]-\varepsilon,\varepsilon[$.
[/mm]
> b) Zeige, dass die Funkton f(y) = y², f(y) = y³ und f(y) =
> epx(y) an jeder Stelle a R mit quadratischem Fehler linear
> approimierbar sind. Bestimme jeweil b und c.
Für [mm] $f(y)=y^2$ [/mm] zum Beispiel gilt wegen [mm] $f(a+x)=(a+x)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2ax + [mm] x^2$:
[/mm]
$|f(a+x) - [mm] (a^2 [/mm] + 2ax)| = [mm] x^2$,
[/mm]
womit die Behauptung (mit [mm] $b:=a^2$, [/mm] $c:=2a$ und $K=1$) folgt.
Wie geht es denn für die anderen Funktionen?
> c) Welchen Wert müssen b und c im algemeinen haben, damit
> (1) erfüllt sein kann?
Nun ja, vollziehe mal in
[mm]-Kx^2 \le f(a+x) - (b+cx) \le Kx^2[/mm]
den Grenzübergang $x [mm] \to [/mm] 0$. Dann siehst du $b=f(a)$.
Nun nun teilst du durch [mm] $x\ne [/mm] 0$ und erhälst im Falle $x>0$ (im Falle $x<0$ drehen sich nur die Ungleichungszeichen rum):
[mm]-Kx \le \frac{f(a+x) - f(a)}{x} - c \le Kx[/mm].
Was kannst du jetzt schließen, wenn due $x [mm] \to [/mm] 0$ streben lässt?
Melde dich mal mit Vorschlägen oder Fragen...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Sa 26.06.2004 | | Autor: | Stella |
Hallo Julius,
zu a)
heißt das einfach, dass der Graph zwischen -Kx² und +kx² liegt? und heißt dass, wenn man K auf null zulaufen läst, dass man dannden Graph so zu sagen einfängt?
zu b)
muss ich wegen Kx² immer x² hinter dem Betrag stehen haben?
so dass f(x)=x³ zu
/f(a+x) - a³+ x(3a²+ x²)/= 3ax² wird mit b:=a³ und c:=3a²+x²?
bei f(x)= exp(x) habe ich doch dan aber e Hoch a+x oder (e hoch a) * (e hoch x), wie soll ich denn das aufspalten ???
zu c)
wenn x gegen Null geht, dann habe ich doch dann einfach folgende Ungleichungskette dort stehen:
0<= -c <=o; aber dasss heißt doch nichts anderes das im Allgemeinen gelten muss: c:=0 und wie du schon sagtest b:=f(a).
aber ich weiß nicht, dies kommt mir insgesamt zu leicht vor, oder? Ich habe doch bestimmt etwas nicht berücksichtigt?
Aber ich gehe jetzt zu meiner Lerngruppe und wir werden uns mal mit deine Tipps auseinander setzen, denn ich muss ehrlich sagen, bis jetzt habe ich über deine Tipps noch nicht so lange nachgedacht, da ich gleich los muss. Ich hoffe meine Vorschläge sind trotzdem nicht ganz weit weg vom Schuss.
Trotzdem wäre es nett, wenn du mir dazu antworten könntest, dann kann ich das mal mit den Ergebnisen von uns vergleichen. 
Viele Grüße
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Jana!
> zu a)
> heißt das einfach, dass der Graph zwischen -Kx² und +kx²
> liegt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und heißt dass, wenn man K auf null zulaufen läst,
> dass man dannden Graph so zu sagen einfängt?
Hmh, weiß nicht genau, was du hier meinst.
> zu b)
> muss ich wegen Kx² immer x² hinter dem Betrag stehen
> haben?
> so dass f(x)=x³ zu
> /f(a+x) - a³+ x(3a²+ x²)/= 3ax² wird mit b:=a³ und
> c:=3a²+x²?
Nein, das geht so ja nicht. Schließlich soll $c$ eine Konstante sein. Du musst hier wie auch hier...
> bei f(x)= exp(x) habe ich doch dan aber e Hoch a+x oder (e
> hoch a) * (e hoch x), wie soll ich denn das aufspalten
> ???
..mit der Taylor-Approximation arbeiten. Also, entwickele bis zum ersten Glied und schätze den Restterm mit [mm] $Kx^2$ [/mm] ab.
> zu c)
> wenn x gegen Null geht, dann habe ich doch dann einfach
> folgende Ungleichungskette dort stehen:
> 0<= -c <=o; aber dasss heißt doch nichts anderes das im
> Allgemeinen gelten muss: c:=0
Nein. Das ist falsch. ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]")
> und wie du schon sagtest
> b:=f(a).
Das folgt aus der ersten Ungleichung, wo ich noch nicht durch $x$ geteilt hatte!!
Aus der zweiten folg nicht $c=0$, sondern: $c = f'(a)$.
> aber ich weiß nicht, dies kommt mir insgesamt zu leicht
> vor, oder? Ich habe doch bestimmt etwas nicht
> berücksichtigt?
Stimmt (siehe oben). Es ist noch recht weit von der Lösung entfernt.
> Aber ich gehe jetzt zu meiner Lerngruppe und wir werden
> uns mal mit deine Tipps auseinander setzen, denn ich muss
> ehrlich sagen, bis jetzt habe ich über deine Tipps noch
> nicht so lange nachgedacht, da ich gleich los muss. Ich
> hoffe meine Vorschläge sind trotzdem nicht ganz weit weg
> vom Schuss.
Hast du es denn jetzt verstanden? Was waren denn eure Überlegungen? Könnt ihr mir die mal mitteilen?
Wenn du es gar nicht verstehst, dann rechne ich c) auch noch mal vor.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Stella |
Hallo Julius,
was ist die Taylorapproximation. Die hatten wir noch nicht?
Diese Aufgabe muss mit den Seiten 90 bis 106
vom folgendem Skript zu lösen sein:
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~roeckner/script/0-17.pdf
Vg
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Stella!
Okay, dann hattet ihr aber die Exponentialreihe (das ist die Taylor-Entwicklung um $0$):
[mm] $\exp(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} [/mm] = 1 + x + [mm] \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
[/mm]
Warum kann man nun zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine Konstante $K$ finden mit:
[mm] $-Kx^2 \le \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \le Kx^2$ [/mm] für $x [mm] \in ]-\varepsilon,\varepsilon[$?
[/mm]
Darüber solltest du dir mal Gedanken machen und mir diese dann mitteilen.
Das war dann die Approximation für $a=0$. Wie sieht es denn für ein beliebes $a$ aus?
Was habt ihr eigentlich in eurer Lerngruppe herausgefunden?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Di 29.06.2004 | | Autor: | Stella |
Hallo Julius
Tja tut mir leid aber ich sehe nicht, warum man ein K finden kann und wie dieses K aussehen soll.
Kannst du uns deinen Tipp mal mit anderen Worten erklären?
Vielleicht kommen wir dann auf die Lösung.
Aufgaben Teil a und c. ist uns klar, dank deiner Hinweise...dafür noch mal danke.
VG
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Stella!
Aber es gilt doch:
[mm] $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n!} [/mm] = [mm] x^2 \cdot \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+2)!}\right)$.
[/mm]
Wie wäre es denn dann vielleicht mal mit
$K:= [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^n}{(n+2)!}$ [/mm] ?
Aber jetzt seid ihr mal dran, ich kann ja nicht alles vormachen:
Wie sieht es denn jetzt für ein beliebiges $a$ aus?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Stella |
Hallo Julius,
ich glaube unser Hauptproblem ist, dass wir nicht wissen, warum du bei deiner Abschätzung x+1 einfach so weglassen kannst. Wir haben einfach keine Idee warum du dieses tust. Es wäre nett, wenn du uns dieses noch mal sagen könntest.
Danke!
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Jana!
Wieso, ich lasse $1+x$ doch gar nicht weg. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Es gilt:
[mm] $\exp(x) [/mm] - 1 - x = [mm] \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
[/mm]
und dann schätze ich [mm] $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ [/mm] ab, wie beschrieben.
Ist euch eigentlich überhaupt klar, was wir eigentlich zeigen wollen?
Wir wollen ja zeigen, dass sich die Funktion [mm] $\exp$ [/mm] lokal durch eine lineare Funktion approximieren lässt. Diese Funktion ist (im Nullpunkt, also für $a=0$) die Funktion $1+x$. Deswegen sagen wir, okay, ich kann den Abstand von [mm] $\exp(x)$ [/mm] und $1+x$ abschätzen, nämlich so, wie in meinem letzten Beitrag, durch:
$- [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^n}{(n+2)!}\cdot x^2 \le \exp(x) [/mm] - 1 - x [mm] \le \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{\varepsilon^n}{(n+2)!} \cdot x^2$.
[/mm]
Nun nennt man noch [mm] $K:=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^n}{(n+2)!}$ [/mm] und ist fertig.
So, jetzt müsste es aber wirklich klar sein.
Jetzt seid ihr aber mal an der Reihe!! Ich antworte erst wieder auf Fragen, wenn ich jetzt mal einen eigenen ausführlichen Lösungsversuch von euch sehe.
Also: Wie sieht denn jetzt die Abschätzung für ein beliebiges $a$ aus? Bisher haben wir das ja nur für $a=0$ gemacht.
Viele Grüße
Julius
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