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Arbeit über Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 So 23.11.2014
Autor: Teryosas

Aufgabe
Ein Massenpunkt werde gegen eine Kraft [mm] f(\vec{x})=-D\vec{x}-mg\vec{e_{3}} [/mm] , [mm] \vec{x}\in\IR^3, [/mm] längs einer Schraubenlinie
[mm] \vec{\gamma}=\vektor{\rho cos (t) \\ \rho sin (t) \\ \bruch{h}{4\pi}t} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 4\pi [/mm]
bewegt. Hierbei sind [mm] D,m,g,\rho [/mm] und h positive reelle Konstanten, und es gilt [mm] \vec{e_{3}}=(0,0,1)^T. [/mm] Berechnen Sie dazu gehörige erforderliche Arbeit [mm] \ingetral_{\vec{\gamma}}^{}{F*d\vec{s}}. [/mm] Tun Sie dies sowohl unter Verwendung der Definition dieses Integraltyps sowie mit Hilfe des Potenzials.

Hey,

Also zum Integraltyp würde ich sagen das wir ein Kurvenintegral 2. Art haben was dazu führt das ich auf
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{F(\vec{\gamma}(t))*\vec{\dot{\gamma}}dt} [/mm]
mit
[mm] F(\vec{\gamma}(t))=-D*\vektor{\rho cos (t) \\ \rho sin (t) \\ \bruch{h}{4\pi}t}-mg*\vektor{0\\0\\1}= -\vektor{D\rho cos (t) \\ D\rho sin (t) \\ D\bruch{h}{4\pi}t-mg} [/mm]
und
[mm] \vec{\dot{\gamma}}=\vektor{\rho sin (t) \\ -\rho cos (t) \\ \bruch{h}{4\pi}} [/mm]
stimmt das so?


Nur bei den Potentialen habe ich keinen wirklich Ansatz...
Vermutlich muss ich ersteinmal mit [mm] F(\vec{\gamma}(t)) [/mm] zeigen das es sich um ein Gradientenfeld handelt? Wenn ich beim [mm] \IR^3 [/mm] die 3 Ableitungensgleichungen bestimme die es zu erfüllen gilt, nach x,y,z käme ich ja überall auf 0???
Aber dann beim Potential steh ich ziemlich aufm Schlauch...

        
Bezug
Arbeit über Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 So 23.11.2014
Autor: notinX

Hallo,

> Ein Massenpunkt werde gegen eine Kraft
> [mm]f(\vec{x})=-D\vec{x}-mg\vec{e_{3}}[/mm] , [mm]\vec{x}\in\IR^3,[/mm]
> längs einer Schraubenlinie
>  [mm]\vec{\gamma}=\vektor{\rho cos (t) \\ \rho sin (t) \\ \bruch{h}{4\pi}t}[/mm]
> für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 4\pi[/mm]
>  bewegt. Hierbei sind [mm]D,m,g,\rho[/mm] und
> h positive reelle Konstanten, und es gilt
> [mm]\vec{e_{3}}=(0,0,1)^T.[/mm] Berechnen Sie dazu gehörige
> erforderliche Arbeit
> [mm]\ingetral_{\vec{\gamma}}^{}{F*d\vec{s}}.[/mm] Tun Sie dies
> sowohl unter Verwendung der Definition dieses Integraltyps
> sowie mit Hilfe des Potenzials.
>  Hey,
>  
> Also zum Integraltyp würde ich sagen das wir ein
> Kurvenintegral 2. Art haben was dazu führt das ich auf

[ok]

> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{F(\vec{\gamma}(t))*\vec{\dot{\gamma}}dt}[/mm]
>  mit
>  [mm]F(\vec{\gamma}(t))=-D*\vektor{\rho cos (t) \\ \rho sin (t) \\ \bruch{h}{4\pi}t}-mg*\vektor{0\\0\\1}= -\vektor{D\rho cos (t) \\ D\rho sin (t) \\ D\bruch{h}{4\pi}t-mg}[/mm]

[notok]

[mm] $\ldots=-\left(\begin{array}{c} D\rho\cos t\\ D\rho\sin t\\ D\frac{h}{4\pi}t{\color{red}+}mg \end{array}\right)$ [/mm]

>  
> und
> [mm]\vec{\dot{\gamma}}=\vektor{\rho sin (t) \\ -\rho cos (t) \\ \bruch{h}{4\pi}}[/mm]
>  
> stimmt das so?

Nein, überprüfe die Ableitung nochmal.

>  
>
> Nur bei den Potentialen habe ich keinen wirklich Ansatz...
>  Vermutlich muss ich ersteinmal mit [mm]F(\vec{\gamma}(t))[/mm]
> zeigen das es sich um ein Gradientenfeld handelt? Wenn ich

Nein Du musst zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] $\nabla\times f(\vec{x})=0$ [/mm]
Dann handelt es sich um ein Gradientenfeld.

> beim [mm]\IR^3[/mm] die 3 Ableitungensgleichungen bestimme die es zu
> erfüllen gilt, nach x,y,z käme ich ja überall auf 0???

Ich weiß nicht genau was Du meinst, kannst Du Dich genauer ausdrücken?

>  Aber dann beim Potential steh ich ziemlich aufm
> Schlauch...

Wie meinst Du das? Weißt Du nicht was ein Potential ist oder hast Du nur keine Ahnung wie man es berechnet?

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Arbeit über Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 So 23.11.2014
Autor: Teryosas


> > und
> > [mm]\vec{\dot{\gamma}}=\vektor{\rho sin (t) \\ -\rho cos (t) \\ \bruch{h}{4\pi}}[/mm]
>  
> >  

> > stimmt das so?
>  
> Nein, überprüfe die Ableitung nochmal.

Ahh fuuu hab ausversehen integriert >.<

> >  

> >
> > Nur bei den Potentialen habe ich keinen wirklich Ansatz...
>  >  Vermutlich muss ich ersteinmal mit [mm]F(\vec{\gamma}(t))[/mm]
> > zeigen das es sich um ein Gradientenfeld handelt? Wenn ich
>
> Nein Du musst zeigen, dass folgendes gilt:
>  [mm]\nabla\times f(\vec{x})=0[/mm]
>  Dann handelt es sich um ein
> Gradientenfeld.
>  
> > beim [mm]\IR^3[/mm] die 3 Ableitungensgleichungen bestimme die es zu
> > erfüllen gilt, nach x,y,z käme ich ja überall auf 0???
>  
> Ich weiß nicht genau was Du meinst, kannst Du Dich genauer
> ausdrücken?
>  
> >  Aber dann beim Potential steh ich ziemlich aufm

> > Schlauch...
>
> Wie meinst Du das? Weißt Du nicht was ein Potential ist
> oder hast Du nur keine Ahnung wie man es berechnet?
>  

Wie ich das berechne in diesem Fall...
sobald cos, sin, tan iwo aufkreuzen stiftet das nur Verwirrung in meinem Kopf :/
und über Google habe ich mal noch keine entsprechende Beispielaufgabe/Youtubevideo gefunden woran ich mich lang hangeln könnte :/

Bezug
                        
Bezug
Arbeit über Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 So 23.11.2014
Autor: notinX


> Wie ich das berechne in diesem Fall...

Du suchst ja quasi eine Stammfunktion. Also integriere alle drei Komponenten des Vektorfeldes nach der entsprechenden Koordinate. Für die erste also:
[mm] $\int Dx\,\mathrm{d}x=-\frac{Dx^2}{2}+c(y,z)$ [/mm]
Die Integrationskonstante kann in diesem Fall von y und z abhängen. Das machst Du für alle drei Komponenten und bestimmst dann die Konstante so, dass es für alle passt und dass der Gradient der Funktion dem Vektorfeld entspricht.

> sobald cos, sin, tan iwo aufkreuzen stiftet das nur
> Verwirrung in meinem Kopf :/

Ganz ruhig, sin und cos sind eigentlich ziemlich umgängliche Funktionen - gerade wenns um Differenzieren und Integrieren geht.

>  und über Google habe ich mal noch keine entsprechende
> Beispielaufgabe/Youtubevideo gefunden woran ich mich lang
> hangeln könnte :/

Verzweifelst Du an allen Herausforderungen des Lebens wenn es zum entsprechenden Sacherhalt kein youtube-Video gibt? :P
Ich weiß ja nicht, nach was Du gesucht hast, aber kuk mal zu welchem Ergebnis die Suche nach 'potential aus vektorfeld bestimmen' erscheint (gleich als erster Eintrag):
http://www.mathematik.uni-ulm.de/numerik/teaching/ss10/Analysis2/Uebungen/potential.pdf

Gruß,

notinX

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