Arbeitsblatt Geraden und Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem Unterrichtsraum hängt neben der Tafel eine rechteckige Projektionswand. Wird in einer Ecke des Raumes der Ursprung eines Koordinatensystems festgelegt, kann man drei Ecken der Projektionsfläche die Koordinaten A(1/2|4/5|4/3), B(0|14/5|3/2) und C(1/2|14/5|3) zuordnen.
a)Ermitteln sie die Aufgaben der 4. Ecke sowie den Flächeninhalt der Projektionswand.
Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene auf, in der sich die Pojektionsfläche befindet. Zeigen Sie, dass diese Ebene auch durch die Gleichung E:18x+5y-6z=5 beschrieben werden kann.
c)Ein während eines Vortrages genutzter Laserpointer sendet einen Lichtstrahl aus, der längs der Geraden
[mm] g:x=\vektor{9 \\ 5 \\ 2} +r*\vektor{105 \\ 42 \\ 10} [/mm] verläuft.
Berechnen sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E.
Untersuchen Sie, ob der Lichtstrahl des Laserpointers die Projektionwand trifft.
e) Die Neigung der Projektionswand ist veränderbar. Eine Beschreibung der einzelnen Stellungen ist mit der Ebenenschar E:18x+5y-tz=14-1,5t mit
t [mm] \in \IR [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 12 möglich. Ermitteln sie den minimalen und den maximalen Neigungswinkel gegenüber der yz-Ebene. |
zu a) Dort habe ich als Punkt D (1|4/5|17/6) und als Flächeninhalt A=3,27
(stimmt das)
zu b) Als Parametergleichung habe ich
[mm] E:\vec{x}=\vektor{1/2 \\ 4/5 \\ 4/3}+r*\vektor{-1/2 \\ 2 \\ 1/6}+s*\vektor{0 \\ 2 \\ 5/3}
[/mm]
Aber ich habe keine Ahnung Wie ich die Koordinatenform beweisen soll, ich habe schon versucht sie umzuwandeln und mit der Parametergleichung zu vergleichen, das hat aber nicht geklappt, vielleicht ist ja auch meine Parametergleichung falsch?
zu c) Mein Schnittpunkt: Sp (53/72 | 61/36 | 131/108 ) (stimmt das ? )
Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe ich aber nicht, der LAserpointer muss die Projektionswand doch treffen wenn er einen Schnittpunkt mit der Ebene hat, oder?
zu d)Hier fehlt mir der Ansatz, ich habe keine Ahnung was ich hier machen soll
Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte, vielen Dank schon mal im Vorraus
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 04.09.2010 | | Autor: | abakus |
> In einem Unterrichtsraum hängt neben der Tafel eine
> rechteckige Projektionswand. Wird in einer Ecke des Raumes
> der Ursprung eines Koordinatensystems festgelegt, kann man
> drei Ecken der Projektionsfläche die Koordinaten
> A(1/2|4/5|4/3), B(0|14/5|3/2) und C(1/2|14/5|3) zuordnen.
>
>
> a)Ermitteln sie die Aufgaben der 4. Ecke sowie den
> Flächeninhalt der Projektionswand.
>
> Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene auf, in der
> sich die Pojektionsfläche befindet. Zeigen Sie, dass diese
> Ebene auch durch die Gleichung E:18x+5y-6z=5 beschrieben
> werden kann.
>
> c)Ein während eines Vortrages genutzter Laserpointer
> sendet einen Lichtstrahl aus, der längs der Geraden
> [mm]g:x=\vektor{9 \\ 5 \\ 2} +r*\vektor{105 \\ 42 \\ 10}[/mm]
> verläuft.
> Berechnen sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene
> E.
> Untersuchen Sie, ob der Lichtstrahl des Laserpointers die
> Projektionwand trifft.
>
> e) Die Neigung der Projektionswand ist veränderbar. Eine
> Beschreibung der einzelnen Stellungen ist mit der
> Ebenenschar E:18x+5y-tz=14-1,5t mit
> t [mm]\in \IR[/mm] und 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 12 möglich. Ermitteln sie den
> minimalen und den maximalen Neigungswinkel gegenüber der
> yz-Ebene.
> zu a) Dort habe ich als Punkt D (1|4/5|17/6) und als
> Flächeninhalt A=3,27
> (stimmt das)
>
> zu b) Als Parametergleichung habe ich
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{1/2 \\ 4/5 \\ 4/3}+r*\vektor{-1/2 \\ 2 \\ 1/6}+s*\vektor{0 \\ 2 \\ 5/3}[/mm]
Hallo,
der letzte Bruch 5/3 ist falsch. Voin A nach C ändert sich die z-Koordinate nicht um 5/3, sondern nur um 1/3.
>
> Aber ich habe keine Ahnung Wie ich die Koordinatenform
> beweisen soll, ich habe schon versucht sie umzuwandeln und
> mit der Parametergleichung zu vergleichen, das hat aber
> nicht geklappt, vielleicht ist ja auch meine
> Parametergleichung falsch?
Ja, siehe oben.
Es genügt allerdings, die Koordinaten jedes Punktes (A, B und C) in die Koordinatengleichung einzusetzen und zu zeigen, dass 8x+5y-6z mit den Koordinaten des jeweiligen Punktes tatsächlich 5 ergibt.
Gruß Abakus
>
> zu c) Mein Schnittpunkt: Sp (53/72 | 61/36 | 131/108 )
> (stimmt das ? )
> Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe ich aber nicht, der
> LAserpointer muss die Projektionswand doch treffen wenn er
> einen Schnittpunkt mit der Ebene hat, oder?
>
> zu d)Hier fehlt mir der Ansatz, ich habe keine Ahnung was
> ich hier machen soll
>
> Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte,
> vielen Dank schon mal im Vorraus
>
> Lg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Wie bist du denn auf die 1/3 gekommen. Ich dachte, man muss immer von C A abziehen und deshalb habe ich 3-4/3 gerechnet, die Methode hat ja bei den anderen Punkten auch funktioniert
Lg
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Könnte mir noch jemand bei den Aufgaben c) und e) helfen und eventuell a) überprüfen???
Lg
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Hi, Kruemel,
also: wenn ich den von Dir berechneten Punkt S in die Ebenengleichung einsetze (also in 18x + 6y - 5z = 5) erhalte ich einen Widerspruch.
Vermutlich hast Du Dich verrechnet!
Was Deine Zusatzfrage betrifft, so liegt der berechnete Punkt S zwar in der Ebene, aber nicht notwendigerweise auf der Projektionsfläche: Die Ebene ist unendlich groß, die Projektionsfläche aber - wie Du ausgerechnet hast - grade mal knapp 3,3 [mm] m^{2}.
[/mm]
Um zu beweisen, dass S auf der Projektionsfläche liegt, könntest Du so vorgehen:
Du stellst den Vektor [mm] \vec{AS} [/mm] als Linearkombination der Vektoren [mm] \vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{AD} [/mm] dar. Die hierbei berechneten Konstanten müssen dann beide zwischen 0 und 1 liegen.
mfG!
Zwerglein
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Also der Schnittpunkt stimmt jetzt ( [mm] S(\bruch{1}{4} [/mm] | [mm] \bruch{3}{2} [/mm] | [mm] \bruch{7}{6} [/mm] ) ) ich hab aus nem Plus ein Minus gemacht.
[mm] \overrightarrow{AS}= \vektor{ \bruch{-1}{4}\\ \bruch{7}{10} \\\bruch{1}{6}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{\bruch{-1}{3} \\ \bruch{59}{20} \\ \bruch{-19}{21}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD}=\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{3}{2}}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt so weit???
Aber wie berechne ich Konstanten und warum müssen sie zwischen 1 und 2 sein??
Lg
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Hallo Kruemel1008,
> Aufgabe c)
> Also der Schnittpunkt stimmt jetzt ( [mm]S(\bruch{1}{4}[/mm] |
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] | [mm]\bruch{7}{6}[/mm] ) ) ich hab aus nem Plus ein
> Minus gemacht.
> [mm]\overrightarrow{AS}= \vektor{ \bruch{-1}{4}\\ \bruch{7}{10} \\\bruch{1}{6}}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{\bruch{-1}{3} \\ \bruch{59}{20} \\ \bruch{-19}{21}}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AD}=\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt so weit???
[mm]\overrightarrow{AB}[/mm] bzw. [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] mußt Du nochmal nachrechnen.
> Aber wie berechne ich Konstanten und warum müssen sie
> zwischen 1 und 2 sein??
Setze den Schnittpunkt gleich mit der Parametergleichung der Ebene.
Dann erhältst Du Werte für die beiden Konstanten.
Die Konstanten müssen beide zwischen 0 und 1 liegen.
Den Punkt A erreicht man, wenn beide Konstanten den Wert 0 annehmen.
Den Punkt D erreicht man, wenn beide Konstanten den Wert 1 annehmen.
> Lg
Gruss
MathePower
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Also, bei [mm] \overline{AB} [/mm] hab ich jetzt [mm] \overline{AB}=\vektor{\bruch{-1}{2} \\ 2 \\ \bruch{1}{6}} [/mm] aber bei [mm] \overline{AD} [/mm] find ich meinen Fehler nicht, was sollte dafür denn rauskommen ???
Nun habe ich gleichgesetzt:
[mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{4}{5} \\ \bruch{4}{3}}+r*\vektor{\bruch{-1}{2} \\ 2 \\ \bruch{1}{6}}+s*\vektor{0 \\ 2 \\ \bruch{5}{3}}=\vektor{\bruch{1}{4} \\ \bruch{3}{2} \\ \bruch{7}{6}}
[/mm]
also:
[mm] r=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] s=\bruch{-3}{20} [/mm] (stimmt das ausnahmsweise mal???)
Ich habe aber immer noch nicht verstanden warum r und s zwischen 0 und 1 sein müssen, aber in diesem Fall wären sie das ja nicht...
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Hallo Kruemel1008,
> c)
> Also, bei [mm]\overline{AB}[/mm] hab ich jetzt
> [mm]\overline{AB}=\vektor{\bruch{-1}{2} \\ 2 \\ \bruch{1}{6}}[/mm]
> aber bei [mm]\overline{AD}[/mm] find ich meinen Fehler nicht, was
> sollte dafür denn rauskommen ???
> Nun habe ich gleichgesetzt:
> [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{4}{5} \\ \bruch{4}{3}}+r*\vektor{\bruch{-1}{2} \\ 2 \\ \bruch{1}{6}}+s*\vektor{0 \\ 2 \\ \bruch{5}{3}}=\vektor{\bruch{1}{4} \\ \bruch{3}{2} \\ \bruch{7}{6}}[/mm]
>
> also:
> [mm]r=\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]s=\bruch{-3}{20}[/mm] (stimmt das
> ausnahmsweise mal???)
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe aber immer noch nicht verstanden warum r und s
> zwischen 0 und 1 sein müssen, aber in diesem Fall wären
> sie das ja nicht...
r und s müssen zwischen 0 und 1 sein, damit der Lichtstrahl
die Projektionswand trifft.
Gruss
MathePower
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Tut mir echt Leid das ich mich so blöd anstelle.
Das Ergebniss haben wir ja jetzt: Der Lichtstrahl trifft die Projektionswand nicht.
> r und s müssen zwischen 0 und 1 sein, damit der
> Lichtstrahl
> die Projektionswand trifft.
Ich habe aber immer noch nicht verstanden warum r und s ausgerechnet zwischen 0 und 1 sein müssen und nicht zwischen zwei anderen Zahlen. Wie komme ich darauf??
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Hallo Kruemel1008,
> c)
> Tut mir echt Leid das ich mich so blöd anstelle.
> Das Ergebniss haben wir ja jetzt: Der Lichtstrahl trifft
> die Projektionswand nicht.
>
> > r und s müssen zwischen 0 und 1 sein, damit der
> > Lichtstrahl
> > die Projektionswand trifft.
>
> Ich habe aber immer noch nicht verstanden warum r und s
> ausgerechnet zwischen 0 und 1 sein müssen und nicht
> zwischen zwei anderen Zahlen. Wie komme ich darauf??
>
Nun, den Punkt A, erreicht man, wenn man r=s=0 in die Parametergleichung der Ebene einsetzt, A ist eine Ecke der Projektionswand.
Punkt B, erreicht man, wenn man r=1,s=0 in die Parametergleichung der Ebene einsetzt, B ist die zweite Ecke der Projektionswand.
Punkt C, erreicht man, wenn man r=0,s=1 in die Parametergleichung der Ebene einsetzt, C ist die dritte Ecke der Projektionswand.
Punkt D, erreicht man, wenn man r=1,s=1 in die Parametergleichung der Ebene einsetzt, D ist die vierte Ecke der Projektionswand.
Gruss
MathePower
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Super, mir geht nicht nur ein Licht, mir geht ein ganzer Kronenleuchter auf!!!
Ich habs verstander!!!
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 So 05.09.2010 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Kruemel, hi, MathePower,
> Setze den Schnittpunkt gleich mit der Parametergleichung
> der Ebene.
Das wäre nur dann richtig, wenn Kruemel als Richtungsvektoren AB und AD verwendet hätte! Hat er aber nicht! Er hat AC als zweiten Richtungsvektor und daher ist auch sein Ergebnis (2. Konstante negativ!!) zwar richtig, aber im Sinne der Aufgabe unbrauchbar!
> Dann erhältst Du Werte für die beiden Konstanten.
>
> Die Konstanten müssen beide zwischen 0 und 1 liegen.
>
> Den Punkt A erreicht man, wenn beide Konstanten den Wert 0
> annehmen.
>
> Den Punkt D erreicht man, wenn beide Konstanten den Wert 1
> annehmen.
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Sa 04.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Kruemel
fuer e) nimm nicht den Winkel der Ebene sondern den der Normalen auf die Ebene und auf die yz Ebene. durch das Skalarprodukt kriegst du den Winkel bzw cos des Winkels in Abh. von t raus. Wie man dann max und Min findet weisst du?
Gruss leduart
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Ich glaube ich bin zu blöd dafür, ich habs aber zumindest versucht:
Normalenvektor der Ebene : [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{18 \\ 5 \\ -tz}
[/mm]
Normalenvektor der yz-Ebene: [mm] \vec{n2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Skalarprodukt: [mm] cos(\alpha)=\bruch{\vektor{18 \\ 5 \\ -tz}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}}{|\vektor{18 \\ 5 \\ -tz}|*|\vektor{1 \\ 0 \\ 0}|}
[/mm]
[mm] =\bruch{\vektor{18 \\ 0 \\ 0}}{\wurzel{18²+5²-tz²}}
[/mm]
Weiter komm ich aber nicht und ich glaube auch nicht das das stimmt was ich da fabriziert habe :(
Und wie ich das Maximum und Minimum errechne weiß ich leider auch nicht, sowas haben wir in der Schule noch nicht gemacht
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 04.09.2010 | | Autor: | abakus |
> e)
> Ich glaube ich bin zu blöd dafür, ich habs aber
> zumindest versucht:
> Normalenvektor der Ebene : [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{18 \\ 5 \\ -tz}[/mm]
>
> Normalenvektor der yz-Ebene: [mm]\vec{n2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Skalarprodukt: [mm]cos(\alpha)=\bruch{\vektor{18 \\ 5 \\ -tz}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}}{|\vektor{18 \\ 5 \\ -tz}|*|\vektor{1 \\ 0 \\ 0}|}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\vektor{18 \\ 0 \\ 0}}{\wurzel{18²+5²-tz²}}[/mm]
>
> Weiter komm ich aber nicht und ich glaube auch nicht das
> das stimmt was ich da fabriziert habe :(
> Und wie ich das Maximum und Minimum errechne weiß ich
> leider auch nicht, sowas haben wir in der Schule noch nicht
> gemacht
> Lg
Hallo,
laut Aufgabenstellung bewegt sich t in gewissen Grenzen. Je nachdem, ob du für t den kleinsten oder den größtmöglichen Wert einsetzt, wird [mm] \bruch{\vektor{18 \\ 0 \\ 0}}{\wurzel{18²+5²-tz²}} [/mm] und damit der Kosinus des Neigungswinkels einen sehr kleinen oder einen recht großen Wert annehmen. Setze einfach die beiden Randwerte für t ein und berechne den jeweiligen Winkel.
Gruß Abakus
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> Hallo,
> laut Aufgabenstellung bewegt sich t in gewissen Grenzen.
> Je nachdem, ob du für t den kleinsten oder den
> größtmöglichen Wert einsetzt, wird [mm]\bruch{\vektor{18 \\ 0 \\ 0}}{\wurzel{18²+5²-tz²}}[/mm]
> und damit der Kosinus des Neigungswinkels einen sehr
> kleinen oder einen recht großen Wert annehmen. Setze
> einfach die beiden Randwerte für t ein und berechne den
> jeweiligen Winkel.
> Gruß Abakus
>
Bis dahin war meine Rechnung also richtig???
Aber irgendwie bekomme ich die z-Variable in der Rchnung nicht weg, wenn ich für t 0 einsetze bekomme ich als Winkel 16,26° raus, aber wenn ich 12 einsetzte kann ich das nicht ausrechnen wegen dem z
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Sa 04.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das z in deinem Normalenvektor ist auch falsch. bei den Zahlen schreibst du doch auch nicht etwa 18x! t ist doch auch nur ne Zahl. also ueberall wo tz steht nur t.
(ich dachte du meinst das z als Index, warum auch immer, darum hat niemand deine Vektoren verbessert)
Gruss leduart
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Achso, dann wäre also der minimale Neigungswinkel 16,26° und der MAximale 98,279° ??
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Hallo Kruemel1008,
> e)
> Achso, dann wäre also der minimale Neigungswinkel 16,26°
> und der MAximale 98,279° ??
Ich bekomme hier andere Wert heraus.
Hier musst Du doch berechnen:
[mm]\cos\left(\alpha\right)=\bruch{18}{\wurzel{18^{2}+5^{2}+t^{2}}}[/mm]
Setze hier für t, wie abakus schrieb, die Randwerte ein.
Gruss
MathePower
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ICh hatte ne Wurzel bei t= 12 vergessen, mit Wurzel wärens dann 35,9° aber für t=0 bekomme ich wieder das selbe ( 16,26°) raus
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Hallo Kruemel1008,
> e)
> ICh hatte ne Wurzel bei t= 12 vergessen, mit Wurzel
> wärens dann 35,9° aber für t=0 bekomme ich wieder das
> selbe ( 16,26°) raus
Poste die Rechenschritte, wie Du zu diesen Ergebnissen kommst.
Ich erhalte für t=0 ungefähr [mm]15.52^{\circ}[/mm].
Ich erhalte für t=12 ungefähr [mm]35.84^{\circ}[/mm].
Gruss
MathePower
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Die Gradzahlen passen ja in etwa...
Meine Rechenschritte:
t=0 : [mm] cos(\alpha)=\bruch{18}{\wurzel{18²+5²+0²}}\approx0,96
[/mm]
Winkel [mm] \approx [/mm] 16,26°
t=12 : [mm] cos(\alpha)=\bruch{18}{\wurzel{18²+5²+12²}}\approx0,81
[/mm]
Winkel [mm] \approx [/mm] 35,9°
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Hallo Kruemel1008,
> e)
> Die Gradzahlen passen ja in etwa...
> Meine Rechenschritte:
> t=0 :
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{18}{\wurzel{18²+5²+0²}}\approx0,96[/mm]
> Winkel [mm]\approx[/mm] 16,26°
> t=12 :
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{18}{\wurzel{18²+5²+12²}}\approx0,81[/mm]
> Winkel [mm]\approx[/mm] 35,9°
Ok, die Cosinuswerte stimmen, schreibe aber die Exponenten in geschweiften Klammern:
18^{2}+5^{2}+t^{2}
Ich denke, das Problem liegt darin, daß Du Deinen TR nicht auf den Modus RAD umgestellt hast.
Gruss
MathePower
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Wenn ich den auf RAD umstelle kommen für die Umkehrfunktion von cos ganz falsch Zahlen raus
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Hallo Kruemel1008,
> e)
> Wenn ich den auf RAD umstelle kommen für die
> Umkehrfunktion von cos ganz falsch Zahlen raus
Da Du jetzt auf "RAD" umgestellt hast, ergeben sich die Winkel im Bogenmaß.
Um auf den Winkel in Grad zu kommen, multiplizierst Du dies mit [mm]\bruch{180}{\pi}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 04.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
abacus hat sich wohl vertan, deine ebene ist richtig. setz 3 Punkte davon z. Bsp r=s=0 ;r=0 s=1 und s=0r=1; in die Koordinatenform ein wenn 3 Punkte stimmen, dann alle. oder schreib die 3 Gleichungen fuer x,y,z auf und eliminiere r und s.
Gruss leduart
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Dankeschön, ich hatte mich schon gewundert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Sa 04.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Dankeschön, ich hatte mich schon gewundert
Tut mir leid, ich hatte einen Trennstrich | mit deinem Bruchstrich / verwechselt.
Zur besseren Lesbarkeit kannst du Brüche mit \ bruch { a }{ b } schreiben (ohne meine Leerzeichen dazwischen).
Gruß Abakus
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Kein Problem, demnächst werde ich versuchen es übersichtlicher zu schreiben.
Lg
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