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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:47 So 04.11.2012 | | Autor: | Reticella |
Hallo,
Ich würde gerne den Beweis zur Quadratur des Kreises von Archimedes verstehen, wie er auf der folgenden Website gegeben (ganz unten)ist:
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/probleme1.htm
Ich verstehe die Stelle nicht, an der [mm]tan(\Psi)=\frac{r}{\frac{dr}{d\phi}}[/mm] steht. Der Tangens ist ja Gegenkathete durch Ankathete... Wie kommt das r nach da oben?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
LG Reticella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mo 05.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Hebt sich das nicht zwei Zeilen später auf, wo auch An- und Gegenkathete vertauscht sind?
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Nein, hebt sich leider soweit ich das sehe nicht wieder auf. [mm]tan(y)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{OT}{r}[/mm] also gilt [mm]r \cdot tan(y)=OT[/mm]... genau wie es da steht.
Weiß sonst jemand eine Antwort?
Oder evtl. eine andere Lösung des Problems... sitze schon ewig dran.
LG Reticella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn eine Funktion in echten Polarkoordinaten gegeben ist, also [mm] r(\phi) [/mm] gilt allgemein für den winkel [mm] \psi [/mm] zwichen dem Radius r und der Kurve [mm] r(\phi): tan\psi=r/r' [/mm] mit [mm] r'=dr/d\phi.
[/mm]
Herleiten kannst du das etwa, indem du in kartesische Koordinaten umschreibst
[mm] \vec{x}=\vektor{r(\phi)*cos\phi\\r(\phi)*sin\phi}
[/mm]
dann [mm] \vec{x}' [/mm] bilden, und [mm] cos\psi=\bruch{<\vec{x},\vec{x}'>/}{|\vec{x}|*|\vec{x}'|} [/mm] dann [mm] 1/cos^2=1+tan^2 [/mm] verwenden.
oder du
schreibst in Polarkoordinaten [mm] \vektor{r(t)\\\phi(t)}
[/mm]
und berechnest [mm] tan\psi=r*\phi'/r' [/mm] '=Ableitung nach t mit [mm] r'/\phi'=dr/d\phi
[/mm]
das zweite erfordert, dass du mit Polarkoordinaten vertraut bist, das erste mehr Schreibarbeit.
Gruss leduart
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Erstmal vielen Dank!
Okay, da das Ganze für ein Refferat vor "nicht-Mathematikern" gedacht ist, probier ich es mal mit dem ersten Ansatz:
Ich habe also:
[mm]
\vec{x}=\vektor{r(\phi)\cdot{}cos\phi\\
r(\phi)\cdot{}sin\phi}[/mm] und berechne daraus die Ableitung nach [mm]\phi[/mm]:
[mm] \vec{x}' =\vektor{r’(\phi)\cdot{}cos\phi - r(\phi) \cdot sin\phi \\
r’(\phi)\cdot{}sin\phi + r(\phi) \cdot cos(\phi)}[/mm] . Und davon wiederum das das Skalarprodukt:
[mm]<\vec{x},\vec{x}'>=r(\phi) cos(\phi) \cdot r’(\phi) cos(\phi) - r(\phi) cos(\phi) \cdot r(\phi) sin(\phi)\\
+ r(\phi) sin(\phi) \cdot r’(\phi) sin(\phi) + r(\phi) sin(\phi) \cdot r(\phi) cos(\phi) \\
= r(\phi)r’(\phi)[/mm]
und die Länge der beiden Vektoren:
[mm]|\vec{x}|=r(\phi)[/mm], [mm]|\vec{x}’|=\sqrt{(r(\phi)’)^2 + r(\phi)^2}[/mm].
D. h.:
[mm]cos\psi=\bruch{<\vec{x},\vec{x}'>}{|\vec{x}|\cdot{}|\vec{x}'|} = \frac{r’(\phi)}{\sqrt{(r(\phi)’)^2 + r(\phi)^2}}[/mm] .
Dann rechnen wir mal [mm]\frac{1}{cos^2} - 1[/mm] aus:
[mm]\frac{1}{cos^2(\psi)} - 1 = \frac{ (r(\phi)’)^2 + r(\phi)^2}{(r(\phi)’)^2} -1 = \frac{r(\phi)^2}{(r(\phi)’)^2}[/mm]
also
[mm]tan(\psi)=\frac{r(\phi)}{r(\phi)’}[/mm]
Sehr schön!
Eine einzige Frage habe ich nur noch:
Wieso gilt [mm]cos\psi=\bruch{<\vec{x},\vec{x}'>}{|\vec{x}|\cdot{}|\vec{x}'|}[/mm]? Wenn ich das so berechne, dann beschreibt die rechte Seite doch den Winkel zwischen [mm]\vec{x} \text { und }\vec{x}'[/mm] aber wieso nun ist das der Winkel zwischen Kurve und Radius? [mm]\vec{x}’[/mm] zeigt in Richtung der Kurve, aber [mm]\vec{x}[/mm] zeigt ja nicht in Richtung des Radius...
LG Reticella
PS: Ich habe die Aufgabe übrigends gelöst, da ich den Vektor [mm]\vec{x}[/mm] in meinem Speziellen Fall einfach durch den Vektor (1, 0) ersetzten kann. Das vereinfacht auch die Rechnung, und so werde ich das ganze auch vorführen... soll ja möglichst einfach bleiben. Trotzdem bin ich natürlich an der allgemeinen Lösung interessiert!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Di 06.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht hätte ich statt [mm] \vec{x} [/mm] besser [mm] \vec{r} [/mm] geschrieben, das ist doch genau der Vektor der den Radius ( von (0,0) aus) beschreibt.
und sind Nichtmathematiker nicht mit der Rechnung überfordert, und du machst das anschaulicher klar? mit r(t), [mm] \phi(t)?
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:08 Di 06.11.2012 | | Autor: | Reticella |
Hallo,
vielen Dank, das macht Sinn :), manchmal hat mein ein Brett vorm Kopf...!
Ich wollte das auch erst nur erklären, aber ich wurde das gebeten das Ganze schon zu beweisen....
Ich denke ich mach das Ganze einfach nur noch wesentlich ausführlich, und hoffe auf gute Schulmathekentnisse ;).
Nochmal vielen Dank für die schnelle Hilfe,
Reticella
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