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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Di 01.07.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass gilt:
[mm] arcsin(cos(x))=\begin{cases} x + \pi/2, & \mbox{für } -\pi <= x <= 0 \mbox{ } \\ x - \pi/2, & \mbox{für } 0<= x <= \pi \mbox{
} \end{cases} [/mm] |
Mein Ansatz:
arcsin(cos(x)) = [mm] sin^{-1}(cos(x))
[/mm]
Bemerkung: cos(x) = sin [mm] (\pi/2 [/mm] - x) (laut Vorlesung)
Also:
[mm] sin^{-1}(cos(x)) [/mm] = [mm] sin^{-1}(sin(\pi/2 [/mm] - x)
Und jetzt steht es bei mir an. Ich weiß nicht mehr wie ich da jetzt weitermachen sollte. Man darf ja nichts auseinanderziehen etc..
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Hallo Tina,
kannst du mal die Aufgabestellung ausbessern, da ist beim Aufschreiben was schiefgelaufen 
Man kann nicht genau erkennen, was du zeigen sollst
Ich nehme an, es ist dies gemeint: [mm] $\arcsin(\cos(x))=\begin{cases} x+\frac{\pi}{2}, & \mbox{für } -\pi\le x\le 0 \\ x-\frac{\pi}{2}, & \mbox{für } 0\le x\le \pi \end{cases}$ [/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Di 01.07.2008 | | Autor: | tinakru |
Ja genauso habe ich das gemeint. Leider habe ich in der Formelsammlung nicht das Zeichen für die Konstante Pi gefunden und das mit ^-1 hat leider auch nicht funktioniert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 01.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen sie, dass gilt:
>
> [mm]arcsin(cos(x))=\begin{cases} x + \pi/2, & \mbox{für } -\pi <= x <= 0 \mbox{ } \\ x - \pi/2, & \mbox{für } 0<= x <= \pi \mbox{
} \end{cases}[/mm]
>
> Mein Ansatz:
>
> arcsin(cos(x)) = [mm]sin^{-1}(cos(x))[/mm]
>
> Bemerkung: cos(x) = sin [mm](\pi/2[/mm] - x) (laut Vorlesung)
>
> Also:
>
> [mm]sin^{-1}(cos(x))[/mm] = [mm]sin^{-1}(sin(\pi/2[/mm] - x)
>
> Und jetzt steht es bei mir an. Ich weiß nicht mehr wie ich
> da jetzt weitermachen sollte. Man darf ja nichts
> auseinanderziehen etc..
Das ist schon die halbe Lösung. Du musst nun bedenken, das der Cosinus und der Sinus im Intervall [mm] $(-\pi,\pi]$ [/mm] jeden Wert zweimal annehmen, aber in den Intervallen [mm] $(-\pi,0]$ [/mm] und [mm] $(0,\pi]$ [/mm] jeden Wert nur einmal. Das heisst, die Frage: Für welches [mm] $x\in(-\pi,\pi]$ [/mm] ist [mm] $\sin [/mm] x=y$ hat immer zwei Lösungen. Die Umkehrfunktion muss aber eindeutig sein und ergibt daher immer für gegebenes y immer nur einen Wert [mm] $\sin^{-1} [/mm] y [mm] \in [-\pi/2,\pi/2]$.
[/mm]
Der ganze Trick gesteht darin, dir zu überlegen, wie die beiden Werte zusammenhängen. Im Zweifelsfall male dir die Funktionen auf!
Viele Grüße
Rainer
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