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Guten Tag liebes Forum,
ich habe Probleme eine vorgegebene Lösung richtig zu verstehen. Der Teil der Lösung sieht folgendermaßen aus:
[mm] h(-z)=ie^{\bruch{1}{2}(Log(-iz-1)+Log(-iz+1))}
[/mm]
= [mm] ie^{\bruch{1}{2}(Log((-1)(iz+1))+Log((-1)(iz-1))}
[/mm]
= [mm] ie^{\bruch{1}{2}(Log(iz+1)+Log(iz-1) + k2\pi i)}
[/mm]
wobei k = [mm] \begin{cases} -1, & \mbox{falls } Im(iz+1)>0 \mbox{ oder} z\in (-\infty,-1)i \\ 1, & \mbox{falls } Im(iz+1)<0 \mbox{ oder} z\in(1,\infty)i \end{cases}
[/mm]
Also ist $h(-z)=-h(z)$ für [mm] z\in\IC\setminusi[-1,1]
[/mm]
wobei natürlich [mm] h(z)=ie^{\bruch{1}{2}(Log(iz-1)+Log(iz+1))}, [/mm] welches auf [mm] \IC\setminus[-1,1]i [/mm] wohldefiniert und holomorph ist.
Der Punkt, den ich nicht ganz verstehe, ist wie der Wert [mm] 2ki\pi [/mm] mit [mm] k\in\{-1,1\} [/mm] entsteht bzw. warum k diese Werte für gegebene Bedingungen einnimmt?
Ich bin für jede Hilfe dankbar,
Gruß,
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Di 19.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe Probleme eine vorgegebene Lösung richtig zu
> verstehen. Der Teil der Lösung sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]h(-z)=ie^{\bruch{1}{2}(Log(-iz-1)+Log(-iz+1))}[/mm]
> = [mm]ie^{\bruch{1}{2}(Log((-1)(iz+1))+Log((-1)(iz-1))}[/mm]
> = [mm]ie^{\bruch{1}{2}(Log(iz+1)+Log(iz-1) + k2\pi i)}[/mm]
>
> wobei k = [mm]\begin{cases} -1, & \mbox{falls } Im(iz+1)>0 \mbox{ oder} z\in (-\infty,-1)i \\ 1, & \mbox{falls } Im(iz+1)<0 \mbox{ oder} z\in(1,\infty)i \end{cases}[/mm]
>
> Also ist [mm]h(-z)=-h(z)[/mm] für [mm]z\in\IC\setminusi[-1,1][/mm]
>
> wobei natürlich
> [mm]h(z)=ie^{\bruch{1}{2}(Log(iz-1)+Log(iz+1))},[/mm] welches auf
> [mm]\IC\setminus[-1,1]i[/mm] wohldefiniert und holomorph ist.
>
> Der Punkt, den ich nicht ganz verstehe, ist wie der Wert
> [mm]2ki\pi[/mm] mit [mm]k\in\{-1,1\}[/mm] entsteht bzw. warum k diese Werte
> für gegebene Bedingungen einnimmt?
Es geht doch um die Umformung von $Log((-1)(iz+1))$ bzw. $Log((-1)(iz-1))$:
[mm] Log((-1)(iz+1)) = Log(iz+1) \pm i\pi [/mm] ,
Das Vorzeichen von [mm] $i\pi$ [/mm] hängt von der genauen Definition des Hauptwerts $Log z$ ab. Ich vermute, dass in eurer Definition des Hauptwertes sein Imaginärteil im Intervall [mm] $[-\pi,+\pi)$ [/mm] liegt.
Das bedeutet insbesondere, dass für negative reelle Zahlen w gilt§ [mm] $\mathop{Im}Log [/mm] w = [mm] -i\pi$.
[/mm]
Jetzt schaust du dir die verschiedenen Fälle für $iz+1$ an; liegt diese Zahl
a) In der oberen Halbebene (Argument zwischen 0 und [mm] $\pi$: [/mm] dann liegt $(-1)(iz+1)$ in der unteren Halbebene und daher $Log((-1)(iz+1)) = Log(iz+1) - [mm] i\pi$,
[/mm]
b) in der unteren Halbebene: dann ist analog $Log((-1)(iz+1)) = Log(iz+1) + [mm] i\pi$,
[/mm]
c) auf der positiven reellen Achse: dann ist $-iz-1$ negativ und daher ist $Log(-iz-1) = Log(iz+1) -i [mm] \pi$,
[/mm]
d) auf der negativen reellen Achse: dann ist $-iz-1$ positiv und daher ist $Log(-iz-1) = Log(iz+1) + [mm] i\pi$ [/mm] .
Das funktioniert ganz genauso für den zwiten Logarithmus, sodass du insgesamt das angegebene Ergebnis hast.
Viele Grüße
Rainer
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Wenn ich das richtig sehe, kann man für [mm]h(z)[/mm] auch anders schreiben. Das Wurzelzeichen stehe im Folgenden für den Wert der Wurzel, dessen Argument im Intervall [mm][0,\pi)[/mm] liegt:
[mm]\arg \left( \sqrt{w} \right) \in [0,\pi)[/mm]
Dann gilt:
[mm]h(z) = \begin{cases} \sqrt{z^2 + 1} & \mbox{für} \ \operatorname{Im}(z)<0 \ \text{oder} \ \operatorname{Im}(z)=0 \ \text{und} \ \operatorname{Re}(z)<0 \\ - \sqrt{z^2 + 1} & \mbox{für} \ \operatorname{Im}(z)>0 \ \text{oder} \ \operatorname{Im}(z)=0 \ \text{und} \ \operatorname{Re}(z)>0 \end{cases}[/mm]
[mm]h[/mm] ist in [mm]\mathbb{C} - \operatorname{i} \, [-1,1][/mm] holomorph. Es erfordert einigen Aufwand, um das im Detail nachzuweisen. Immerhin ist [mm]h(-z) = -h(z)[/mm] gleich zu sehen, da der Übergang [mm]z \mapsto -z[/mm] genau zur obigen Fallunterscheidung paßt.
Im Anhang eine Datei, die die Abbildung [mm]h[/mm] geometrisch veranschaulicht. Zum Öffnen verwende ![[]](/images/popup.gif) Euklid.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 So 01.07.2012 | | Autor: | Quadratur |
Vielen Dank für die Antworten,
hatte jetzt ne Woche lang kein Internet wegen meinem Umzug gehabt ;)
Ich habe meinen Denkfehler jetzt auch gesehen. Danke auch im Übrigen für die Datei Leopold. Sie veranschaulicht sehr gut, wie der Sprung im nicht- holomorphen Teil der Funktion aussieht.
Besten Gruß,
Alex
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