Arit. Folge (Induktionsbeweis) < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $\forall [/mm] a,d [mm] \in \IR$ [/mm] sei eine arithmetische Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] definiert als :
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN: a_{n} [/mm] := a + (n - 1)d$.
Beweise folgende Aussage mittels Induktion:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] S_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] = [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}(a_{1} [/mm] + [mm] a_{n})=\bruch{n}{2}(2a+(n-1)d)$. [/mm] |
Hallo,
es wäre sehr nett, wenn jemand kurz prüfen kann, ob mein Ansatz richtig ist:
Induktionsanfang n = 1: [mm] \summe_{k=1}^{1}a_{k} =a_{1}=\bruch{1}{2}(a_{1}+a_{1})=\bruch{1}{2}(2a_{1})=a_{1}=a=\bruch{1}{2}(2a)=\bruch{1}{2}(2a+(1-1)d)$
[/mm]
Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$:
Induktionsvoraussetzung:
Für ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] gelte: [mm] $\summe_{k=1}^{n} [/mm] = [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}(a_{1} [/mm] + [mm] a_{n})=\bruch{n}{2}(2a+(n-1)d)$.
[/mm]
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> [mm]\forall a,d \in \IR[/mm] sei eine arithmetische Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> definiert als :
>
> [mm]\forall n \in \IN: a_{n} := a + (n - 1)d[/mm].
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> Beweise folgende Aussage mittels Induktion:
>
> [mm]\forall n \in \IN : S_{n} := \summe_{k=1}^{n} = a_{k} = \bruch{n}{2}(a_{1} + a_{n})=\bruch{n}{2}(2a+(n-1)d)[/mm].
Das "=" ist der Summe ist zuviel!
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> Hallo,
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> es wäre sehr nett, wenn jemand kurz prüfen kann, ob mein
> Ansatz richtig ist:
>
> Induktionsanfang n = 1: [mm]\summe_{k=1}^{1}a_{k} =a_{1}=\bruch{1}{2}(a_{1}+a_{1})=\bruch{1}{2}(2a_{1})=a_{1}=a=\bruch{1}{2}(2a)=\bruch{1}{2}(2a+(1-1)d)$[/mm]
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> Induktionsschritt [mm]n \to n+1[/mm]:
> Induktionsvoraussetzung:
> Für ein [mm]n\in \IN[/mm] gelte: [mm]\summe_{k=1}^{n} = a_{k} = \bruch{n}{2}(a_{1} + a_{n})=\bruch{n}{2}(2a+(n-1)d)[/mm].
Nun der Schritt auf [mm]n+1[/mm]
Beh.: Die Aussage gilt auch für [mm]n+1[/mm], also zu zeigen:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_k=\frac{n+1}{2}(a_1+a_{n+1})=\frac{n+1}{2}(2a+nd)[/mm]
Nimm dir dazu die linke Seite her, teile die Summe in eine bis n und den letzten Summanden und wende dann die IV an:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_k \ = \ \left[ \ \sum\limits_{k=1}^na_k \ \right] \ + \ a_{n+1}[/mm]
Nun die IV auf die Summe bis n anwenden und weiter umformen. Wie kannst du [mm]a_{n+1}[/mm] schreiben? ...
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>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Di 23.11.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, schachuzipus.
Ich habe die Aufgabe mit deinen Tipps komplett hinbekommen. 
Gruß
el_grecco
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