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Hallo,
habe folgendes Problem: Wir sollen beweisen: Aus den Ziffern 1,2,3,4,5,6,7 kann man 7! = 5040 verschiedene siebenstellige Zahlen, deren Ziffern alle verschieden sind, bilden. Beweisen Sie, dass keine dieser Zahlen eine andere dieser Zahlen teilt.
Bin schon am verzweifeln, kann mir vielleicht irgendeiner helfen? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo noangel,
du kannst die Anzahl der Möglichkeiten stark einschränken denn die größte Zahl ist ja 7654321 und die kleinste 1234567.
Zur Abkürzung: du möchtest wissen, ob die größere Zahl G durch die kleinere Zahl K teilbar ist.
Es ist klar dass wegen 7654321/1234567 [mm] \approx [/mm] 6,2 nur die Verhältnisse 2 bis 6 zwischen K und G vorkommen können.
Angenehmerweise ist keine der Zahlen durch 3 teilbar (denn die Quersumme ist immer gleich 28; ich denke mal, du hast daran noch nicht gedacht), deswegen scheiden die 3 und die 6 aus.
Übrig bleiben noch die Verhältnisse 2, 4 und 5.
Für die 5 muss die letzte Stelle von K 1 und die letzte Stelle von G 5 sein, anders geht es nicht. Dann kann ich aber an die erste Stelle von K nur noch Zahlen von 2 aufwärts setzen. Das gibt mit 5 multipliziert aber eine 8-stellige Zahl.
Für die 4 muss ebenfalls an die letzte Stelle von K eine 1 gesetzt werden, die vordere Stelle ist dann mindestens 2; also hat das Vierfache von K vornedran ne 8 oder mehr.
Bleibt nur noch, dass G=2K ist.
Die erste Stelle von K muss also 1, 2 oder 3 sein. Die erste und die letzte Stelle von G dürfen nicht 1 sein.
Versuche also mit diesen Tip zu zeigen, dass auch der Faktor 2 unmöglich ist.
Das dahin erstmal,
Hugo
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Hallo, erst mal wollt ich erwähnen, dass ich durch Zufall auf diese Seite gestossen bin und nicht gedacht hatte Hilfe zu bekommen. An dieser Stelle ein Danke schön. Hab euch noch Probleme mich hier zurecht zu finden.
Also auf die Quersumme bin ich nicht gekommen, wenn wir eine Menge von Zahlen haben, die sich nur in ihrer Ziffer unterscheiden (1234567 und 7654321) dann haben wir die gleiche Quersumme von 28. Das habe ich nun verstanden.
Aber die 2 geht auf jeden Fall nicht. Und max. die 6? oder bin ich hier wieder auf dem falschen Weg? Ich würd sagen die 1, aber das scheint mir nicht auszureichen.
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Hallo noangel,
ich berichtige meinen Lösungsvorschlag hier etwas.
Die Unmöglichkeit der Faktoren 3 und 6 ist ja klar wegen der Quersumme, denn dadurch kann keine Zahl das 3 oder 6-fache einer anderen sein.
Aus der Quersumme folgt aber auch, dass 2 und 5 nicht gehen, denn 2 und 5 sind 2 mod 3.
Deshalb bedeutet Multiplikation einer Zahl z mit 2 bzw. 5, dass
z=1 mod 3 => 2z=5z=2 mod 3
und
z=2 mod 3 => 2z=5z=1 mod 3
Das ist aber unmöglich, wenn die Quersumme gleich bleibt.
Es ist also nur noch zu zeigen, dass es keinen Faktor 4 zwischen zwei solchen Zahlen gibt. Meine Begründung ist dabei etwas kurzsichtig gewesen. Unbestreitbar ist lediglich, dass die erste Ziffer der kleineren Zahl 1 sein muss. Hinten könnte jedoch auch 4 stehen, dann hat die größere Zahl hinten eben eine 6.
Verboten an der letzten Stelle sind für K: 2, 5, 7
und für G: 1, 3, 5, 7
Viel Spaß beim Herumknobeln.
Hugo
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