Arithmetik und Algebra < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Fr 23.02.2007 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | Sei p eine Primazahl.
Für alle natürlichen Zahlen a,b, deren größter gemeinsamer Teiler p ist, untersuche man, welche natürlichen Zahlen als größte gemeinsame Teiler von
a) a² und b
b) a³ und b
c) a² und b³
auftreten können. |
Die Aufgabe kommt aus einer Staatsprüfung für Lehramt. Leider habe ich keine Idee wie ich an die Aufgabe ran gehen soll bzw wie die Lösung aussehen könnte.
Meione Gedanken bisher: Der ggT kann höchstens so groß sein wie die Wurzel der Zahl. D.H. von a² wohl höchstens a. Leider habe ich nicht mehr rausgefunden und hoffe mir kann einer helfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Fr 23.02.2007 | | Autor: | wauwau |
> Sei p eine Primazahl.
> Für alle natürlichen Zahlen a,b, deren größter gemeinsamer
> Teiler p ist, untersuche man, welche natürlichen Zahlen als
> größte gemeinsame Teiler von
>
> a) a² und b
ggt(a,b)=p [mm] \Rightarrow ggt(a^{2},b)=p
[/mm]
> b) a³ und b
ggt(a,b)=p [mm] \Rightarrow ggt(a^{3},b)=p
[/mm]
> c) a² und b³
ggt(a,b)=p [mm] \Rightarrow ggt(a^{2},b^{3})=p^{2}
[/mm]
oder wo sollen denn die anderen gemeinsamen Primfaktoren herkommen??
oder habe ich da was falsch verstanden??
>
> auftreten können.
> Die Aufgabe kommt aus einer Staatsprüfung für Lehramt.
> Leider habe ich keine Idee wie ich an die Aufgabe ran gehen
> soll bzw wie die Lösung aussehen könnte.
> Meione Gedanken bisher: Der ggT kann höchstens so groß
> sein wie die Wurzel der Zahl. D.H. von a² wohl höchstens a.
> Leider habe ich nicht mehr rausgefunden und hoffe mir kann
> einer helfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Fr 23.02.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> > a) a² und b
>
> ggt(a,b)=p [mm]\Rightarrow ggt(a^{2},b)=p[/mm]
ich glaube da gibt es schon noch ein paar weitere möglichkeiten. setze etwa: $a = p$ und $b = [mm] p^2$.
[/mm]
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Fr 23.02.2007 | | Autor: | DaMazen |
Ist das wirklich alles? Für die Aufgabe hat man bei der Klausur 30 min Zeit... denke da muss noch mehr hin oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Sa 24.02.2007 | | Autor: | wauwau |
OK ausführlich:
a = [mm] p^{\alpha}A [/mm]
b = [mm] p^{\beta}B
[/mm]
mit ggt(A,p)=ggt(B,p)=1
da ggt(a,b)=p gilt: [mm] min(\alpha,\beta)=1
[/mm]
[mm] ggt(a^{n}, b^{m}) [/mm] = [mm] min(n\alpha,m\beta)
[/mm]
1) n=2, m=1 [mm] min(2\alpha,\beta) \le [/mm] 2
wobei = 1 wenn [mm] \beta=1 [/mm] 2 sonst
2) n=3, m=1 [mm] min(3\alpha,\beta) \le [/mm] 3
wobei = 1 wenn [mm] \beta=1, [/mm]
= 2 wenn [mm] \beta=2
[/mm]
= 3 wenn [mm] \beta \ge [/mm] 3
3) n=2, m=3 2 [mm] \le min(2\alpha,3\beta) \le [/mm] 3
wobei = 2 wenn [mm] \alpha [/mm] = 1
= 3 wenn [mm] \beta=1 [/mm] und [mm] \alpha [/mm] > 1
|
|
|
|
