Arithmetische Folge und Trapez < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 58. Ein gleichschenkliges Trapez besitzt den Umfang 40 cm. Die Masszahlen der Decklinie a, der Schenkel, der Grundlinie und der Diagonalen bilden in dieser Reihenfolge eine arithmetische Folge.
Bestimme den Flächeninhalt und die Winkel des Trapezes. |
***** Nix rumgepostet *****
1. Stimmt meine Lösung?
2. Gibt es einen einfacheren Lösungsweg?
Bezeichnungen:
Decklinie $ \ a \ $
Seiten $ \ b \ $
Grundlinie $ \ c \ $
Diagonale $ \ e \ $
Glieder der Folge $ [mm] a_{1} [/mm] $
Zuwachs $ d $
Umfang:
$ U \ = \ \ a \ + \ 2b \ + \ c \ = \ 40 $
Arithmetische Folge:
$ a, \ b, \ c, \ e $
$ [mm] a_{1} [/mm] \ = \ a$
$ [mm] a_{2} [/mm] \ = \ a \ + \ \ \ d$
$ [mm] a_{3} [/mm] \ = \ a \ + \ 2d$
$ [mm] a_{4} [/mm] \ = \ a \ + \ 3d$
$ U \ = \ \ a \ + \ 2b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 40 $
$ U \ = \ \ a \ + \ 2 (a \ + \ d) \ + \ (a \ + \ 2d) \ = \ 40 $
$ d \ = \ 10 \ - \ a $
$ d $ in die Folge eingesetzt:
$ [mm] a_{1} [/mm] \ = \ a $
$ [mm] a_{2} [/mm] \ = \ a \ + \ \ \ \ d \ = \ 10 $
$ [mm] a_{3} [/mm] \ = \ a \ + \ 2 \ d \ = \ 20 \ - \ \ a $
$ [mm] a_{4} [/mm] \ = \ a \ + \ 3 \ d \ = \ 30 \ - \ 2a $
Fläche mit "Heron":
$ [mm] A_{1}=\wurzel{ \ (s \ - \ a) \ (s \ - \ b) \ (s \ - \ b) \ ( s \ - \ c)} [/mm] $
mit
$ s \ = \ [mm] \bruch{U}{2}, [/mm] \ \ b \ = \ 10 \ \ und \ \ c \ = \ 20 \ - \ a $
$ [mm] A_{1} [/mm] \ = \ 10 \ * \ [mm] \wurzel{a \ * \ (20 \ - \ a)} [/mm] $
Höhe mit "Heron"
$ h \ = \ [mm] \bruch{2}{c \ - \ a}\wurzel{(t) \ * \ (t \ - \ (c \ - \ a) ) \ * \ (t \ - \ b) \ * \ (t \ - \ b)}$
[/mm]
mit
$ t \ = \ [mm] \bruch{(c \ - \ a) \ + \ 2b}{2} [/mm] \ = \ 20 \ - \ a $
$ h \ = \ [mm] \bruch{1}{10 \ - \ a}\wurzel{(20 \ - \ a)(a)(2)(10 \ - \ a)} [/mm] $
daraus alternative Trapezfläche $ [mm] A_{2} [/mm] $ :
$ [mm] A_{2} [/mm] = [mm] \bruch{a+c}{2} [/mm] * h = [mm] \bruch{a+c}{2} [/mm] \ * [mm] \bruch{1}{10 \ - \ a}\wurzel{(20 \ - \ a)(a)(2)(10 \ - \ a)} [/mm] $
$ [mm] A_{2} [/mm] = [mm] \bruch{10}{10-a} [/mm] * [mm] \wurzel{(20 \ - \ a)(a)(2)(10 \ - \ a)} [/mm] $
$ [mm] A_{1} [/mm] $ mit $ [mm] A_{1} [/mm] $ gleichgesetzt:
$ [mm] A_{1} [/mm] \ = \ 10 \ * \ [mm] \wurzel{a \ * \ (20 \ - \ a)} [/mm] = [mm] A_{2} [/mm] = [mm] \bruch{10}{10-a} [/mm] * [mm] \wurzel{(20 \ - \ a)(a)(2)(10 \ - \ a)} [/mm] $
nach $ a $ aufgelöst:
$ a \ = \ 8, \ b \ = \ 10, \ c \ = \ 20 \ - \ 8 \ = \ 12, \ e \ = \ 30 \ - \ 2a \ = \ 14$
Fläche:
$ [mm] A_{1} [/mm] = [mm] A_{2}= [/mm] 10 \ cm * [mm] \wurzel{8*12} [/mm] \ cm= 98.0 \ [mm] cm^2$
[/mm]
Höhe:
$ h \ = \ [mm] \bruch{1}{10 \ - \ a}\wurzel{(20 \ - \ a)(a)(2)(10 \ - \ a)} [/mm] $
$ h \ = \ [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{12 \ * \ 8 \ * \ 2 \ * \ 2} [/mm] \ = \ [mm] 4*\wurzel{6} [/mm] $
Winkel:
$ b*Sin[ [mm] \gamma] [/mm] \ = \ h \ = \ [mm] 4*\wurzel{6}$
[/mm]
$ [mm] Sin[\gamma] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{h}{b} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4*\wurzel{6}}{b} [/mm] $
$ [mm] \gamma [/mm] \ = \ [mm] \delta [/mm] \ = \ 78.46° $
$ [mm] \alpha [/mm] \ = \ [mm] \beta [/mm] \ = \ 101.54° $
Herzliche Grüsse aus Zurich by night
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Do 05.07.2007 | | Autor: | wauwau |
gleischenkliges Trapez:
h(Höhe)= [mm] \wurzel{b^2-(\bruch{c-a}{2})^2}
[/mm]
Fläche: A = [mm] \bruch{(a+c)h}{2}
[/mm]
[mm] \alpha=\beta=180-\gamma=180-\delta
[/mm]
[mm] cos(\alpha)= \bruch{c-a}{2b}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Do 05.07.2007 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo wauwau
Danke für Deine viel kürzere Lösung. Sie hat mich beflügelt. Beim Flug durchs Internet bin ich auf "Ptolemäus" gestossen:
$ [mm] e^2 [/mm] \ = \ [mm] b^2 [/mm] \ + \ ac \ $
aus der Reihenbedingung $ e $ und $ c $ eingesetzt:
$ (30 \ - \ [mm] 2a)^2 [/mm] \ = \ 100 \ + \ a(20 \ - \ 2) $
$ \ a \ = \ 8 \ $ oder $ \ a \ = \ 20 \ $
Bei $ a \ = \ 20, \ wird \ c \ = \ 0 $
Das Trapez verschwindet.
Daher $ \ a \ = \ 8 \ $
Die restliche Berechnung bleibt gleich.
Herzliche Grüsse aus Zürich, das sich auf das Zürifäscht vorbereitet.
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