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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 16.09.2007 | | Autor: | Maaadin |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die ersten zehn Glieder der rekursiv dargestellten Zahlenfolge [mm] (a_{n}). [/mm] Geben Sie eine explizite Darstellung der Folge an. |
Hallo alle zusammen, ich hab mal wieder eine Frage.
Folgende Aufgabe:
[mm] a_{1} [/mm] = 0; [mm] a_{n-1} [/mm] + 2 * (n+1)
Also ich soll ja fuer die Aufgabe nun eine explizite Darstellung finden, aber um ehrlich zu sein.... ich hab keine Ahnung. Ich habe die ersten 10 Glieder ausgerechnet, wie es in der Aufgabenstellung steht, doch ich seh da einfach kein Shema um eine explizite Darstellung aufzustellen. Also hier mal meine 10 Glieder:
[mm] a_{1} [/mm] = 0
[mm] a_{2} [/mm] = 0 + 2 * (2+1) = 6
[mm] a_{3} [/mm] = 6 + 2 * (3+1) = 14
[mm] a_{4} [/mm] = 14 + 2 * (4+1) =24
[mm] a_{5} [/mm] = 24 + 2 * (5+1) = 36
[mm] a_{6} [/mm] = 36 + 2 * (6+1) = 50
[mm] a_{7} [/mm] = 50 + 2 * (7+1) = 66
[mm] a_{8} [/mm] = 66 + 2 * (8+1) = 84
[mm] a_{9} [/mm] = 84 + 2 * (9+1) = 104
[mm] a_{10} [/mm] = 104 + 2 * (10+1) = 126
Ich hoffe ihr koennt mir weiterhelfen :)
Liebe Gruesse,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Deine ersten Folgenglieder hast Du richtig ermittelt. Allerdings handelt es sich hier nicht um eine arithmetische Folge, da der Abstand der einzelnen Folgenglieder nicht konstant ist.
Aber berechnen wir uns mal die Differenzen untereinander sowie dann die Differenzen der Differenzen:
[mm] $$\Delta a_n [/mm] \ = \ [mm] a_{n+1}-a_n$$
[/mm]
[mm] $$\Delta(\Delta a_n) [/mm] \ = \ [mm] \Delta a_{n+1}-\Delta a_n$$
[/mm]
[mm] $$ [/mm] \ 0 \ | \ 6 \ | \ 14 \ | \ 24 \ | \ 36 \ | \ ...$$
[mm] $$\Delta a_n [/mm] \ \ \ \ 6 \ | \ 8 \ | \ 10 \ | \ 12 \ | \ ...$$
[mm] $$\Delta(\Delta a_n) [/mm] \ \ \ \ 2 \ | \ 2 \ | \ 2 \ | \ ...$$
Da dieses Differenzkonstanz im zweiten Schritt auftritt, handelt es sich hier bei der expliziten Folgenvorschrift um ein Polynom zweiter Ordnung: [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a*n^2+b*n+c$ [/mm] .
Kannst Du nun aus den ersten 3 Folgengliedern ein Gleichungssystem aufstellen, um die Koeffizienten $a_$ , $b_$ und $c_$ zu ermitteln?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 16.09.2007 | | Autor: | Maaadin |
Also erstmal vielen Dank fuer Deine schnelle Antwort ;)
Ich hab es wahrscheinlich erst nach dem 10. Mal durchlesen verstanden, aber irgendwie komme ich trotzdem nicht so richtig weiter.
Die Gleichungen die ich aufgestellt habe ( alle durch ausprobieren), funktionieren nur teilweise, sprich manchmal fuer die ersten drei Glieder oder manchmal nur fuer 2 Glieder. Also auf eine Gleichung die bei allen Gliedern funktioniert bin ich noch nicht gekommen.
Aber trotzdem vielen Dank.
Ich werde weiterhin versuchen auf eine Gleichung zu kommen, die fuer alle Glieder funktioniert. Ich werde mich dann Heute Abend nochmal melden :)
Viele Gruesse,
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Du musst hier ein Gleichungssystem aufstellen:
[mm] $$a_1 [/mm] \ = \ [mm] a*1^2+b*1+c [/mm] \ = \ a+b+c \ = \ 0$$
[mm] $$a_2 [/mm] \ = \ [mm] a*2^2+b*2+c [/mm] \ = \ 4a+2b+c \ = \ 6$$
[mm] $$a_3 [/mm] \ = \ [mm] a*3^2+b*3+c [/mm] \ = \ 9a+3b+c \ = \ 14$$
Ich habe dann am Ende erhalten (bitte nachrechnen, da ohne Gewähr): [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] n^2+3*n-4$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 16.09.2007 | | Autor: | claudi7 |
Hatte die gleich Aufgabe zu lösen.
Steh aber immer noch auf dem Schlauch. Wäre nett, wenn du das mit dem Gleichungssystem etwas ausführlicher darstellen könntest.
Das Ergebnis stimmt es läßt mir bloß keien Ruhe, dass ich nicht selbst drauf komme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 So 16.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo claudi7 !
worauf bezieht sich deine frage? wie man das gleichungssystem löst ?
wenn ja, schau mal
hier
ich habe eben gezeigt wie man das systematisch lösen kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 So 16.09.2007 | | Autor: | claudi7 |
Danke!!
Jetzt weiß ich es wieder!!
Hat geklappt 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 So 16.09.2007 | | Autor: | holwo |
freut mich
da das keine frage ist schließ ich das mal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 16.09.2007 | | Autor: | Maaadin |
Vielen Dank!
Jetzt hab ich's auch verstanden, wobei ich ehrlich gestehen muss, dass ich niemals ohne Dich auf die Loesung gekommen waere. Also ich waere nie auf die Gleichung gekommen.
Nochmals vielen herzlichen Dank.
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 16.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi, Loddar!
Kannst du mir bitte erklären, wieso man dann von einem Polynom 2. Grades ausgehen kann?
Habe etwas herumexperimentiert und bin zwar auch auf Polynome 2. Grads gestoßen, aber allerdings waren diese alle falsch ;)
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Hallo Teufel,
Wir können die Rekursionsvorschrift mehrmals auf sich selbst anwenden und schauen was passiert:
[mm]\begin{array}{l@{\hspace{.1cm}}l}
{}&a_n\\
=&a_{n-1} + 2(n+1)\\
=&a_{n-1-1} + 2(n-1+1) + 2(n+1)\\
=&a_{n-3} + 2(n-2+1) + 2(n-1+1) + 2(n+1)\\
=&a_{n-4} + 2(n-3+1) + 2(n-2+1) + 2(n-1+1) + 2(n+1)\\
\vdots&{}\\
=&a_{n-(n-1)} + 2(n - (n-2) + 1) + 2(n - (n-3) + 1) + \cdots + 2(n - (n-n) + 1)\\
=&2(n - (n-2) + 1) + 2(n - (n-3) + 1) + ... + 2(n - (n-n) + 1)\\
=&\sum_{i=2}^n{2(n - (n-i) + 1)}
\end{array}[/mm]
Es gilt also:
[mm]\renewcommand{\arraystretch}{1.25}\begin{array}{l@{\hspace{.1cm}}l}
a_n &=\displaystyle 2\sum_{i=2}^n{(i+1)} = 2\left(n-1 + \sum_{i=2}^n{i}\right) = 2\left(n-2 + \sum_{i=1}^n{i}\right)=2\left(n-2 + \frac{n(n+1)}{2}\right)\\
{}&=\displaystyle 2n - 4 + n^2 + n = n^2 + 3n - 4
\end{array}[/mm]
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 16.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Erklärung.
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