Arithmetische, Geomet. Mittel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Do 10.11.2011 | | Autor: | Benz |
| Aufgabe | Es seien zwei Zahlen [mm] a_{0},b_{0} \in\IR [/mm] mit 0 < [mm] a_{0} [/mm] < [mm] b_{0} [/mm] gegeben. Damit defenieren wir rekursiv die beiden Folgen [mm] (a_{n})n \in\IN_{0} [/mm] und [mm] (b_{n})n \in\IN_{0} [/mm] durch [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \wurzel{a_{n}b_{n}}\in\IN_{0} [/mm] und [mm] b_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{a_{n}b_{n}}{2}\in\IN_{0}
[/mm]
a) [mm] 0\le a_{n}\le b_{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
b) [mm] (a_{n})n\in\IN_{0} [/mm] ist monoton wachsend und [mm] (b_{n})n\in\IN_{0} [/mm] ist monoton fallend
c) Beide folgen sind konvergent
d) Es gilt [mm] lim_{n\to\infty}a_{n}=lim_{n\to\infty}b_{n} [/mm] |
also was mich komplett aus der bahn wirft ist das hier: [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \wurzel{a_{n}b_{n}}\in\IN_{0} [/mm] und [mm] b_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{a_{n}b_{n}}{2}\in\IN_{0}
[/mm]
1.Warum wird mit [mm] a_{n+1} [/mm] direkt gerechnet?
2.Ist a) nicht eigentlich genauso wie [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \wurzel{a_{n}b_{n}}\in\IN_{0} [/mm] und [mm] b_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{a_{n}b_{n}}{2}\in\IN_{0}, [/mm] nur halt ohne 0?
3.warum gilt [mm] lim_{n\to\infty}a_{n}=lim_{n\to\infty}b_{n}, [/mm] ist es nicht ein Widerspruch zu 0 < [mm] a_{0} [/mm] < [mm] b_{0}?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien zwei Zahlen [mm]a_{0},b_{0} \in\IR[/mm] mit 0 < [mm]a_{0}[/mm] <
> [mm]b_{0}[/mm] gegeben. Damit defenieren wir rekursiv die beiden
> Folgen [mm](a_{n})n \in\IN_{0}[/mm] und [mm](b_{n})n \in\IN_{0}[/mm] durch
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\wurzel{a_{n}b_{n}}\in\IN_{0}[/mm] und [mm]b_{n+1}[/mm] :=
> [mm]\bruch{a_{n}b_{n}}{2}\in\IN_{0}[/mm]
>
> a) [mm]0\le a_{n}\le b_{n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> b) [mm](a_{n})n\in\IN_{0}[/mm] ist monoton wachsend und
> [mm](b_{n})n\in\IN_{0}[/mm] ist monoton fallend
> c) Beide folgen sind konvergent
> d) Es gilt [mm]lim_{n\to\infty}a_{n}=lim_{n\to\infty}b_{n}[/mm]
> also was mich komplett aus der bahn wirft ist das hier:
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\wurzel{a_{n}b_{n}}\in\IN_{0}[/mm] und [mm]b_{n+1}[/mm] :=
> [mm]\bruch{a_{n}b_{n}}{2}\in\IN_{0}[/mm]
>
> 1.Warum wird mit [mm]a_{n+1}[/mm] direkt gerechnet?
Was meinst Du damit ?
> 2.Ist a) nicht eigentlich genauso wie
> [mm]a_{n+1}[/mm] :=
> [mm]\wurzel{a_{n}b_{n}}\in\IN_{0}[/mm] und [mm]b_{n+1}[/mm] :=
> [mm]\bruch{a_{n}b_{n}}{2}\in\IN_{0},[/mm] nur halt ohne 0?
Hier und oben sollte es lauten:
[mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\wurzel{a_{n}b_{n}}~~~(n \in\IN_{0}[/mm] )
und
[mm]b_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{a_{n}b_{n}}{2}~~~(n\in\IN_{0},[/mm])
> nur halt ohne 0?
ich hab keine Ahnung, was Du meinst.
> 3.warum gilt [mm]lim_{n\to\infty}a_{n}=lim_{n\to\infty}b_{n},[/mm]
> ist es nicht ein Widerspruch zu 0 < [mm]a_{0}[/mm] < [mm]b_{0}?[/mm]
Warum soll das ein Widerspruch sein ?
Ist z.B. [mm] a_n:=\bruch{-1}{n+1} [/mm] und [mm] b_n:=\bruch{1}{n+1} [/mm] für n [mm] \in \IN_0,
[/mm]
so ist [mm] a_0
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 10.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > 2.Ist a) nicht eigentlich genauso wie
>
>
> > [mm]a_{n+1}[/mm] :=
> > [mm]\wurzel{a_{n}b_{n}}\in\IN_{0}[/mm] und [mm]b_{n+1}[/mm] :=
> > [mm]\bruch{a_{n}b_{n}}{2}\in\IN_{0},[/mm] nur halt ohne 0?
>
>
> Hier und oben sollte es lauten:
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\wurzel{a_{n}b_{n}}~~~(n \in\IN_{0}[/mm] )
>
> und
>
> [mm]b_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{a_{n}b_{n}}{2}~~~(n\in\IN_{0},[/mm])
Kann es sein, dass es eher [mm] $b_{n+1} [/mm] := [mm] \frac{a_n + b_n}{2}$ [/mm] lauten sollte? Das sollte vor allem der Fragesteller nachpruefen!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin!
>
> > > 2.Ist a) nicht eigentlich genauso wie
> >
> >
> > > [mm]a_{n+1}[/mm] :=
> > > [mm]\wurzel{a_{n}b_{n}}\in\IN_{0}[/mm] und [mm]b_{n+1}[/mm] :=
> > > [mm]\bruch{a_{n}b_{n}}{2}\in\IN_{0},[/mm] nur halt ohne 0?
> >
> >
> > Hier und oben sollte es lauten:
> >
> > [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\wurzel{a_{n}b_{n}}~~~(n \in\IN_{0}[/mm] )
> >
> > und
> >
> > [mm]b_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{a_{n}b_{n}}{2}~~~(n\in\IN_{0},[/mm])
>
> Kann es sein, dass es eher [mm]b_{n+1} := \frac{a_n + b_n}{2}[/mm]
> lauten sollte? Das sollte vor allem der Fragesteller
> nachpruefen!
>
> LG Felix
Hallo Felix,
ganz sicher soll das [mm]b_{n+1} := \frac{a_n + b_n}{2}[/mm] lauten.
Den Tippfehler hab ich überlesen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Do 10.11.2011 | | Autor: | Benz |
stimmt ist ein tippfehler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 10.11.2011 | | Autor: | Benz |
kannst du mir einen anstoß für a) geben grübel schon seid 1 stunde drüber aber ich weiß nicht wie ich ansetzen muss:(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> kannst du mir einen anstoß für a) geben grübel schon
> seid 1 stunde drüber aber ich weiß nicht wie ich ansetzen
> muss:(
Mache einen Induktionsbeweis.
Überlege Dir vorher, dass für [mm] x,y\ge [/mm] 0 gilt:
[mm] $2\wurzel{xy}=2\wurzel{x}*2\wurzel{y} \le [/mm] x+y$.
(Binomi !!! ).
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> kannst du mir einen anstoß für a) geben grübel schon
> seid 1 stunde drüber aber ich weiß nicht wie ich ansetzen
> muss:(
Die Frage ist beantwortet.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Do 10.11.2011 | | Autor: | Benz |
also entweder ich habe zu viel heute gemacht oder ich bin zu dumm dafür aber die a) geht einfach nicht in mein Kopf brauche hilfe sonst geht noch was kaputt^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 10.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also entweder ich habe zu viel heute gemacht oder ich bin
> zu dumm dafür aber die a) geht einfach nicht in mein Kopf
> brauche hilfe sonst geht noch was kaputt^^
Du willst zeigen: $2 [mm] \sqrt{x y} \le [/mm] x + y$.
Quadrieren liefert: $4 x y [mm] \le [/mm] (x + [mm] y)^2$.
[/mm]
Multipliziere die rechte Seite aus. (Binomische Formel.)
Dann kannst du etwas umformen zu $0 [mm] \le [/mm] ...$, und auf der rechten Seite nochmal eine binomische Formel anwenden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 10.11.2011 | | Autor: | Benz |
entschuldigung wenn das jetzt ne blöde frage ist aber was hat das hier a) $ [mm] 0\le a_{n}\le b_{n} [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $ mit [mm] x,y\ge0 [/mm] zu tun
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Do 10.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> entschuldigung wenn das jetzt ne blöde frage ist aber was
> hat das hier a) [mm]0\le a_{n}\le b_{n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit
> [mm]x,y\ge0[/mm] zu tun
Man kann es auch mit [mm] $a_n$, $b_n$ [/mm] formulieren:
[mm]0\le a_{n}\le b_{n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN \Rightarrow a_n*b_n \ge 0[/mm] für alle [mm]n\in\IN [/mm].
Oder mit x und y:
$0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] x*y [mm] \ge [/mm] 0$
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> entschuldigung wenn das jetzt ne blöde frage ist aber was
> hat das hier a) [mm]0\le a_{n}\le b_{n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit
> [mm]x,y\ge0[/mm] zu tun
Schreib doch mal hin, was [mm] a_{n+1} \le b_{n+1} [/mm] bedeutet.
FRED
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