Arithmetisches Mittel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:14 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Informacao |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Zahlen x,y,z,u so, dass jede dieser 4 zahlen das arithmetische Mittel ihrer vier Nachbarn ist. Dabei ist das arithmetische Mittel von 4 Zahlen a,b,c,d definiert durch [mm] \bruch{1}{4}(a+b+c+d).
[/mm]
(Unter der Aufgabe war eine Art "Schachbrett" (weiß nicht, was es ist) mit x,y,z,u in der Mitte und eine 1 stand über dem y.) |
Hallo,
also diese Aufgabe lässt mich ein bisschen verzweifeln, denn ich weiß nicht, wie ich diese Zahlen x,y,z,u bestimmen soll... Ich habe nachgeguckt, was mit arithmetischem Mittel gemeint ist, aber ich weiß nicht, wie ich starten soll...könnt ihr mir bitte helfen??
viele grüße
Informacao
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Hallo Informacao!
> Bestimmen Sie die Zahlen x,y,z,u so, dass jede dieser 4
> zahlen das arithmetische Mittel ihrer vier Nachbarn ist.
> Dabei ist das arithmetische Mittel von 4 Zahlen a,b,c,d
> definiert durch [mm]\bruch{1}{4}(a+b+c+d).[/mm]
>
> (Unter der Aufgabe war eine Art "Schachbrett" (weiß nicht,
> was es ist) mit x,y,z,u in der Mitte und eine 1 stand über
> dem y.)
> Hallo,
>
> also diese Aufgabe lässt mich ein bisschen verzweifeln,
> denn ich weiß nicht, wie ich diese Zahlen x,y,z,u bestimmen
> soll... Ich habe nachgeguckt, was mit arithmetischem Mittel
> gemeint ist, aber ich weiß nicht, wie ich starten
> soll...könnt ihr mir bitte helfen??
Ich würde einfach vier Gleichungen aufstellen. Für jede Zahl soll doch gelten, dass sie arithmetisches Mittel ihrere Nachbarn ist, also gilt für jede dieser vier Zahlen: [mm] \bruch{1}{4}(a+b+c+d). [/mm] Ich weiß jetzt nicht so ganz genau, wie dein "Schachbrett" aussieht, kannst du es nicht einscannen oder gibt es das Ü-Blatt vllt im Netz? Aber wahrscheinlich haben die Zahlen irgendwie gemeinsame Nachbarn, so dass du insgesamt nur 4 Unbekannte hast!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo, danke schon mal für die Antwort.
Ich bin immer noch nicht weiter gekommen mit der Aufgabe.
Hier hab ich das mal eingescannt ..ich hoffe auf hilfe 
[Dateianhang nicht öffentlich]
informacao
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo informacao!
> Hallo, danke schon mal für die Antwort.
>
> Ich bin immer noch nicht weiter gekommen mit der Aufgabe.
>
> Hier hab ich das mal eingescannt ..ich hoffe auf hilfe
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> informacao
Das angefügte Bild ist doch sehr informativ.
Da du 4 Variablen (x,y,z,u) hast, brauchst du auch 4Gleichungen, damit die Aufgabe lösbarist. Diese 4 Gleichungen kannst du dir aus dem bild erstellen.
x soll beispielsweise das arithmetische Mittel der 4 benachbarten Zahlen (nördlich: 0; östlich: y; südlich: z und westlich 0) sein. Analoges gilt für die 3 weiteren Variablen. Demnach muss gelten:
I: [mm] x=\bruch{0+y+z+0}{4}
[/mm]
II: [mm] y=\bruch{1+0+u+x}{4}
[/mm]
III: [mm] z=\bruch{x+u+0+0}{4}
[/mm]
IV: [mm] u=\bruch{y+0+0+z}{4}
[/mm]
Damit hast du nun ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 unbekannten Variablen: das Ganze sollte lösbar (Additionsverfahren; Gauß-Verfahren; Gauß-Jordan o.ä) sein.
Hoffe das hilft dir weiter.
Gruß,
Tommy
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Hi Tommy,
danke für die Antwort..
ich weiß nicht, was Jordan ist..Gauß sagt mir was..aber ich hab keine Ahnung, wie ich mich den Gleichungen anfangen soll und die auflösen soll..könntest du mir vielleicht mal den Anfang zeigen, damit ich weiß, wie ich anfangen kann ?
VIele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 So 05.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Informacao,
> hab keine Ahnung, wie ich mich den Gleichungen anfangen
> soll und die auflösen soll..
Doooch, das kannst Du 
Sieht allerdings durchaus erst mal etwas ungewohnt aus.
Aber wenn Du alle Gleichungen erst mal mit 4 multiplizierst und dann alle Variablen nach links nimmst, sieht's hoffentlich schon vertrauter aus:
[mm] $\begin{matrix}I: &4x&-y&-z&=0 \\II: & 4y&-u&-x&=1 \\III: & 4z&-x&-u&=0 \\IV: & 4u&-y&-z&=0 \end{matrix}$
[/mm]
Nun am besten noch die Variablen sortieren
[mm] $\begin{matrix}I: &&4x&-y&-z&=0 \\II: &-u&-x&+4y&&=1 \\III: &-u&-x&&+4z&=0 \\IV: &4u&&-y&-z&=0 \end{matrix}$
[/mm]
und jetzt sollte es gehen, oder?
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 So 05.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Hi,
danke..ich habs gelöst und hatte raus:
1/12
1/12
7/24
1/24
ich weiß grad aber nicht für welche variablen, da ich das inne matrix gepackt habe.. das is doch jez die fertige lösung, ne?
gruß
informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 So 05.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Informacao,
> ich weiß grad aber nicht für welche variablen, da ich das
> inne matrix gepackt habe..
Tsss, tsss, darüber solltest Du Dir freilich noch klar werden So grundsätzlich meine ich, wie das, was der TR da ausspuckt, zu deuten ist.
Deine Lösungen dürften allerding in der Reihenfolge des Alphabetes stehen (so wie ich sie sortiert hatte). Das passt Dann auch zu dem Raster. Mit scharfem Hinsehen ergibt sich ja schon, dass y die größte Zahl sein muss (wegen der 1), x und u gleich sein müssen und z dann die kleinste ist.
Zum Nachrechnen bin ich zu faul, kannst Du ja durch Einsetzen leicht überprüfen.
> das is doch jez die fertige lösung, ne?
Wenn Du noch die "x=..." etc. spendierst, ja.
Schöne Grüße
ardik
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Blueevan |
Hallo ihr Lieben :)
Ich habe dieselbe Aufgabe. Wie man Gleichungen löst ist mir natürlich im Prinzip klar, ich würde diese Aufgabe nur gern mit dem Gaußverfahren lösen, da wir das in der Vorlesung hatten. Das Prinzip der Zeilenreduktion mit Hilfe von Elementarmatrizen ist mir klar. Ich bin mir jedoch nicht sicher wie ich die Gleichungen in Matrixform umschreibe, damit ich beim Ausmultiplizieren wieder
die Form A*x=b erhalte.
Ich dank euch schonmal tausend mal für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 08.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Blueevan,
aus
$ [mm] \begin{matrix}I: &&4x&-y&-z&=0 \\II: &-u&-x&+4y&&=1 \\III: &-u&-x&&+4z&=0 \\IV: &4u&&-y&-z&=0 \end{matrix} [/mm] $
wird
$ [mm] \begin{pmatrix}0&4 &-1&-1& \\ -1&-1&4&0 \\ -1&-1&0&4 \\4&0&-1&-1 \end{pmatrix}x= \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
(Tippfehler vorbehalten)
mit [mm] $x=\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}$
[/mm]
Schöne Grüße
ardik
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Blueevan |
Dank dir für die schnelle Antwort :)
Hat geholfen =)
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