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| Aufgabe | Bestimme alle relativen Extrema d. Fkt.:
[mm] f(x,y)=\bruch{1}{3}x^{3}+xy^{2}-5x+\bruch{1}{3}y^3-5y [/mm] |
Nun habe ich:
[mm] f_{x}=x^{2}+y^{2}-5!=0
[/mm]
[mm] f_{y}=y^{2}+2xy-5!=0 \Rightarrow [/mm] x= [mm] \bruch{5-y^{2}}{2y}
[/mm]
nun setzte ich das in [mm] f_{x} [/mm] ein erhalte:
[mm] (\bruch{5-y^{2}}{2y})^{2}+y^{2}-5=0
[/mm]
und weiß aber leider nicht wie weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Fr 26.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimme alle relativen Extrema d. Fkt.:
> [mm]f(x,y)=\bruch{1}{3}x^{3}+xy^{2}-5x+\bruch{1}{3}y^3-5y[/mm]
> Nun habe ich:
>
> [mm]f_{x}=x^{2}+y^{2}-5!=0[/mm]
> [mm]f_{y}=y^{2}+2xy-5!=0 \Rightarrow[/mm] x= [mm]\bruch{5-y^{2}}{2y}[/mm]
>
> nun setzte ich das in [mm]f_{x}[/mm] ein erhalte:
>
> [mm](\bruch{5-y^{2}}{2y})^{2}+y^{2}-5=0[/mm]
>
> und weiß aber leider nicht wie weiter...
Ausmultiplizieren ergibt:
[mm] (\bruch{5-y^{2}}{2y})^{2}+y^{2}-5=0
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{25-10y²+y^{4}}{4y²}+y²-5=0
[/mm]
[mm] \gdw 25-10y²+y^{4}+4y^{4}-20y²=0
[/mm]
[mm] \gdw 5y^{4}-30y²+25=0
[/mm]
[mm] \gdw y^{4}-6y²+5=0
[/mm]
Und jetzt substituiere mal z=y² dann solltest du (nach Rücksubstitution) die vier Lösungen erhalten
Marius
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Ein bißchen einfacher geht es so:
Löse die erste Gleichung nach [mm]y^2[/mm] auf (nicht [mm]y[/mm]) und setze in die zweite ein. Eine Faktorisierung liefert dir lineare Zusammenhänge zwischen [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]. Gehe alle Möglichkeiten durch.
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ah, verstehe, danke für die schnelle Antworten!
wenn ich jetzt richtig gerechnet habe, müsste wohl:
[mm] x_{11}=-2 [/mm] und [mm] y_{11}=-1
[/mm]
[mm] x_{12}=2 [/mm] und [mm] y_{12}=1
[/mm]
[mm] x_{21}=0 [/mm] und [mm] y_{21}=-\wurzel(5)
[/mm]
[mm] x_{22}=0 [/mm] und [mm] y_{22}=\wurzel(5)
[/mm]
rauskommen.
Die erste Hessematrix liefert dann [mm] H_{f} [/mm] (-2;-1)= [mm] \pmat{ 4 & -2 \\ -2 & -6 }
[/mm]
Als Eigenwert hätt ich nun [mm] \lambda_{1}=4,385 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-6,385...
[/mm]
also müsste das wohl ein Sattelpunkt sein?
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Was sagt mir das jetzt bzw. wie schreib ich das nun auf?
Maple gibt mir bei
extrema( [mm] 1/3*x^3+x*y^2-5*x+1/3*y^3-5*y, [/mm] {}, {x,y} );
[mm] {min(\bruch{-10}{3}*RootOf(_Z^2-5), -10), max(\bruch{-10}{3}*RootOf(_Z^2-5), 10)} [/mm] aus???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 28.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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