Arzela-Ascoli < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:45 So 27.05.2007 | | Autor: | mathmetzsch |
| Aufgabe | Sei M die Menge der reellen Polynome auf [0,1] höchstens 20-ten Grades, die durch 1 betragsmäßig beschränkt sind. Man zeige mit dem Satz von Arzela-Ascoli, dass M kompakt in C[0,1] ist.
(Tipp: Man beweise vorbereitend, dass es eine Konstante K mit der folgenden Eigenschaft gibt: Ist die Norm von einem [mm] P\in [/mm] M durch [mm] \varepsilon [/mm] beschränkt, so sind alle Koeffizienten von P betragsmäßig höchstens gleich K".) |
Hallo Leute,
Ok... wir könnten die Kompaktheit zeigen... das ist aber umständlich. Aber
der Satz von diesem Italiener, sagt dass "Phi kompakt in C[0,1]" äquivalent ist zu "Phi ist beschränkt, abgeschlossen und gleichgradig stetig"
Ok. "Beschränkt" ist uns nach Voraussetzung gegeben. Fein. bleiben noch
"abgeschlossen" und "gleichgradig stetig" übrig.
Idee meinerseits: Die Beschränktheit (nach oben und unten) können wir für
die Stetigkeit hernehmen... (steht im Ana I Buch... da war was...)
gleichgradig dürfte komplizierter werden. Allerdings sollen es gerade nur
reellwertige Polynome sein, also nix gebrochenrationales. Alles in allem
schaut das ja so weit auch nicht schlecht aus.
Abgeschlossenheit... Der "Trick" des Arzela-Ascoli-Beweises ist ja gerade die Konstruktion von konvergenten Teilfolgen. Ascoli macht das für Polynome unendlichen Gerade. Wir haben hier Gerade <= 20. Ich denke auch nicht, dass wir sie explizit angeben müssen, sondern einfach nur das Verfahren ummpnzen.
Kann mir jemand bitte dabei helfen?
Schöne Grüße
Daniel
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