Assoziative Gruppe? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | | Ist die Menge G = {q [mm] \in \IQ [/mm] | q > 0} zusammen mit der Verknüpfung G x G [mm] \to [/mm] G, (x,y) [mm] \mapsto \bruch{x}{y} [/mm] eine Gruppe? Ist diese Verknüpfung assoziativ? |
Hallo,
also generell weiß ich wohl was eine Gruppe ist und was die für Eigenschaften besitzen muss. Bei dieser Aufgabe allerdings kommt eine Division vor und wir hatten das bisher nur mit Addition und Multiplikation und da bin ich mir nicht sicher, ob ich da richtig denke... Deshalb hätte ich gerne ein paar Tips wenn ich das falsch gemacht habe.
I) für alle x,y,z [mm] \in [/mm] G ist [mm] \bruch{x}{\bruch{y}{z}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x}{y}}{z} [/mm] oder? Und das stimmt ja würde ich sagen.
Denn es wäre ja beides [mm] x*\bruch{1}{y} [/mm] * [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
II) Es gibt ein e [mm] \in [/mm] G mit
1) für jedes x [mm] \in [/mm] G ist [mm] \bruch{e}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{e} [/mm] = x
Habe ich die Eigenschaft so richtig verstanden und auf meinen Fall umformuliert? Weil wenn ich das so richtig gemacht habe, dann würde ich sagen, dass das eben so nicht stimmt. Dass es kein neutrales Element e gibt, für dass diese Eigenschaft erfüllt ist. Aber ich mach erstmal trotzdem weiter
2) für jedes x [mm] \in [/mm] G gibt es ein x' [mm] \in [/mm] G mit x'*x = x*x' = e. Wobei x' das Inverse von x ist.
Da würde ich dann sagen, dass es ja gehen würde. Also [mm] \bruch{x}{1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] \bruch{x}{1} [/mm] = e
Dann wäre das neutrale Element auch 1. Jetzt ist die Frage, ob ich das auch wirklich richtig angewendet hab? Würd mich freuen wenn mir jemand was dazu sagen könnte.
Und auf die Frage, ob die Verknüpfung assoziativ ist, würde ich sagen ja. Dadurch, dass ich das in der ersten Eigenschaft dann gezeigt habe ?
lg Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
du machst dir leider viel zu viel Arbeit: Beantworte erst die Frage nach der Assoziativität.
> I) für alle x,y,z [mm]\in[/mm] G ist [mm]\bruch{x}{\bruch{y}{z}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{x}{y}}{z}[/mm] oder? Und das stimmt ja würde
> ich sagen.
oh weh... probier es mal mit einigen Beispielzahlen aus.
Da die Gruppenoperation assoziativ sein muß, hat sich damit die Frage auch erledigt.
Die anderen Bedingugnen für eine Gruppe müssen dann nicht mehr geprüft werden, wenn eine schon versagt hat.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Elfe |
okay okay, mir ist es selbst peinlich  Irgendwie fürchte ich, dass mich das ganze mathe immer weiter zu einem einzigen blackout führt.
danke für den hinweis
lg Elfe
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