Assoziative kommutative Verknü < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 23.04.2008 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | Sei [mm] (M,\*) [/mm] assoziative und kommutative Verknüpfung.
Zeigen Sie, dass dann für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt: [mm] x^{n}\* y^{n} [/mm] = [mm] (x\*y)^{n} [/mm] |
Hallo, also ich weiß nicht wie ich das lösen kann. Man muss sicher über kommutativität bzw. Assoziativität ansetzen. Aber da komm ich nicht vorwärts. Kann mir mal jemand nen Anfang machen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mi 23.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
als ersten Gedanken würde ich das durch vollständige Induktion über n beweisen.
Dabei würde ich in zwei Schritten vorgehen:
1.) Beweise, dass [mm] x*y^n [/mm] = [mm] y^n*x [/mm] (auch durch vollst. Induktion über n)
2.) Beweis der Behauptung durch v.I.
So, das soll als Starthilfe erst einmal genügen...
Gruß
piet
P.S.: wenn ihr 1.) schon irgendwo gezeigt habt, dann kannst Du dir den Schritt auch sparen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 23.04.2008 | | Autor: | grashalm |
Mh das sind aber Verknüpfungen die wir so [mm] \* [/mm] bezeichnen und kein einfaches Multiplizieren, also denk ich das geht so nicht. Bei Mutiplikation würde es klappen aber so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ist doch wurscht ob man die Verknüpfung als [mm] \*, [/mm] +, * oder [mm] \circ [/mm] hinschreibt - was hier zählt sind die beiden Eigenschaften Assoziativität und Kommutativität.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Do 24.04.2008 | | Autor: | grashalm |
Mh dann weiß ich aber trotzdem nicht wie das mit Induktion dann gehen soll?!
Kann wer mal nen Ansatz zeigen oder nochmal erklären
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Do 24.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
nur einen Ansatz zu zeigen ist hier schwierig, weil die Induktionsbeweise beide recht kurz sind.
Ich zeige einfach einmal 1.), du kannst dann 2.) noch selbst machen (wobei ich jetzt auch den Stern als Notation verwende).
Los geht's...
Zu zeigen ist: $ x [mm] \* y^n [/mm] = [mm] y^n \* [/mm] x$
Induktionsanfang: n=1; [mm] $x\* [/mm] y = y [mm] \* [/mm] x$ gilt, das ist ja gerade die Kommutativität von *.
Induktionsannahme: Es gilt $ x [mm] \* y^n [/mm] = [mm] y^n \* [/mm] x$
Induktionsschluss: $n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$, d.h. es ist zu zeigen, dass $ x [mm] \* y^{n+1} [/mm] = [mm] y^{n+1} \* [/mm] x$
Es gilt:
[mm] x \* y^{n+1} \overset{A}{=} (x \* y^{n}) \* y \overset{IA}{=} (y^{n} \* x) \*y \overset{A}{=} y^{n} \* (x \*y) \overset{K}{=} y^{n} \*(y \* x) \overset{A}{=} y^{n+1} \* x[/mm] w.z.b.w.
Dabei wird verwendet:
A: die Assoziativität von *
K: die Kommutativität von *
IA: die Induktionsannahme
Und dann machst Du 2.) in einem ähnlichen Stil, wobei du jetzt natürlich schon verwenden darfst, dass x mit beliebigen Potenzen von y vertauscht.
Gruß
piet
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