Asymptote von e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 09.11.2005 | | Autor: | DerVogel |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, kann mir jemand die Asymptote der Funktion
f(x)= ((e ^ -x) - 1) ^2
sagen???
Ich muss die Fläche zw. Graph und Asymptote ausrechnen.
Danke!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DerVogel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich denke mal, Du meinst die Asymptote für $x [mm] \rightarrow \red{+}\infty$ [/mm] , oder?
Schreiben wir mal Deine Funktionsvorschrift etwas um. Vielleicht siehst Du es dann selber:
$f(x) \ = \ [mm] \left(e^{-x}-1\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{e^x}-1\right)^2$
[/mm]
Es gilt ja: [mm] $\limes_{x\rightarrow +\infty}e^x [/mm] \ = \ [mm] +\infty$ [/mm] .
Daraus folgt dann: [mm] $\limes_{x\rightarrow +\infty}\bruch{1}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0$
(Der Ausdruck [mm] $\bruch{1}{\infty}$ [/mm] ist natürlich nur in Anführungszeichen zu sehen  ...)
Was bedeutet das nun für Deinen gesuchten Grenzwert bzw. Deine gesuchte Asymptote?
Zur weiteren Veranschaulichung noch eine kleine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Fr 11.11.2005 | | Autor: | DerVogel |
Die Asymptote erhalte ich durch ausmultiplizieren, aber die Fläche zw. Asymptote und der FUnktion ist doch [mm] \infty [/mm] oder nicht?
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Hi, DerVogel,
> Die Asymptote erhalte ich durch ausmultiplizieren,
Jedenfalls: Die Asymptote hat die Gleichung y=1.
> aber die
> Fläche zw. Asymptote und der FUnktion ist doch [mm]\infty[/mm] oder
> nicht?
Hier nicht!
Obwohl die Fläche nach rechts unbegrenzt ist, hat sie einen endlichen Flächeninhalt!
Das kannst Du Dir anschaulich so erklären, dass die "Höhe" schneller gegen Null geht als die "Breite" gegen Unendlich!
Rechnerisch:
Zuerst bestimmst Du die linke Grenze des Integrals durch Gleichsetzen von Funktionsterm und Asymptote. Ergebnis: x=-ln(2)
Nun musst Du berechnen:
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{-ln(2)}^{b} [/mm] {(1 - f(x)) dx}
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{-ln(2)}^{b} {(2e^{-x} - e^{-2x}) dx}
[/mm]
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}[-2e^{-x}+0,5*e^{-2x}]_{-ln(2)}^{b}
[/mm]
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}[-2e^{-b}+0,5*e^{-2b}] [/mm] - [mm] (-2e^{ln(2)}+0,5*e^{2ln(2)}
[/mm]
Der erste Teil geht (analog zu Loddars Ausführungen) wieder gegen 0.
Übrig bleibt demnach: [mm] 2e^{ln(2)}-0,5*e^{2ln(2)}
[/mm]
Bedenke nun, dass [mm] e^{ln(2)} [/mm] = 2 ist und [mm] e^{2ln(2)} [/mm] = 4.
Dann ist das Ergebnis letztlich: 2.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Sa 12.11.2005 | | Autor: | DerVogel |
Vielen Dank für die schnellen Antworten!!!
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