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Asymptoten?: Polynomdivision
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 So 01.05.2005
Autor: Der-dirk

Ich habe leider keine Ahnung mehr davon wie ich die Asymptoen einer gebrochenrationalen Funktion bestimme!
Ich weiß das ich mich dafür schämen müßte, ist aber so und da ich es für morgen brauche seit Ihr sozusagen meine letzte Hoffnung!
Also kann mir jemand sagen wie ich die Asymptote bestimme?
1. wann ist die asymp. f*(x)=0
2. Wie geht eine Polynomdivision

Danke schon jetzt im Voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Asymptoten?: Erklärung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 So 01.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Dirk!

[willkommenmr] !!

Wir freuen uns hier aber auch über eine nettes "Hallo" ;-) ...


> Also kann mir jemand sagen wie ich die Asymptote
> bestimme?
> 1. wann ist die asymp. f*(x)=0

Unterscheiden wir mal in vertikale Asymptoten (soge. Polstellen). Diese liegen bei gebrochen-rationalen Funktion vor, wo der Nenner der Funktion gleich Null ist und der Zähler ungleich Null.


Für Asymptoten für $x [mm] \rightarrow \pm \infty$ [/mm] gibt es folgende Regeln:

Ist der Nennergrad höher als der Zählergrad, ist die Asymptote die x-Achse (also eine waagerechte Gerade bei $y \ = \ 0$).

Ist der Zählergrad höher als der Nennergrad, strebt die Funktion gegen [mm] $\pm \infty$. [/mm] Durch Polynomdivision (s.u.) kann man aber jedoch eine gebrochen rationale Funktion zerlegen in einen ganz-rationalen Anteil (das ist dann die Asymptotenfunktion) sowie einen gebrochen-rationalen Restanteil.

Beispiel:

[mm] $\bruch{3x^2-1}{x+2} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{3x-6}_{= \ Asymptote} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{\bruch{11}{x+2}}_{= \ Rest}$ [/mm]

Stimmen Zählergrad und Nennergrad überein, so ist die Asmptote für $x [mm] \rightarrow \pm \infty$ [/mm] gleich dem Quotient aus den Koeffizienten der höchsten Potenz.

Beispiel:

[mm] $\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{1\red{-3}*x^2}{\blue{4}*x^2+5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{-3}}{\blue{4}} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{3}{4}$ [/mm]



> 2. Wie geht eine Polynomdivision


[guckstduhier] Sieh' mal in unserer MatheBank unter MBPolynomdivision ...



Ich hoffe, das klärt nun einiges. Sonst einfach nochmal nachfragen. Am besten allerdings an einem konkreten Beispiel (mit eigenen Ansätzen).


Gruß
Loddar

Bezug
                
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Asymptoten?: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 So 06.11.2005
Autor: jannik

Hi,
ich hab mal ne frage. ich bin kein mathe genie oder sowas hab mich nur für ne klausur vorbereitet. und habe probiert deine erklärung von wegen der asymptoten nachzuvollziehen. du schreibst, dass von der aufgabe 3x(zum quadrat)-1: x+2      = 3x -6 für die asymptote und 11:x+2 als rest rauskommt.
müsste es aber nicht eigentlich sein als asymptote 3x+6 und dann als rest -13:x+2????????
ich bin mir net sicher. bin aber nie auf dein ergebnis gekommen und meins macht scheinbar sinn. ich bin nihct besonders gut in mathe. wär nett, wenn du mal schreiben könntest wie man auf dein ergebnis kommt, bzw. was ich falsch gemacht habe.
Bezug
                        
Bezug
Asymptoten?: Mein Ergebnis stimmt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Mo 07.11.2005
Autor: Loddar

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Moin Jannik!


Mein Ergebnis stimmt schon:


  $\left(3x^2 + 0*x -1\right) \ : \ (x+2) \ = \ 3x-6 + ...$
$-\left(3x^2+6x)$
------------
     $\red{-}6x$
    $-(-6x-12)_$
     ----------
          $+11_$ = Rest

Du hast sicher vergessen, dass man hier den Termin wieder subtrahiert. Dadurch entsteht denn der Wert $\red{-}6$ .


Gruß
Loddar

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