Asymptoten einer E-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Sa 13.06.2009 | | Autor: | jana90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Schar von Funktionen
e (hoch) x
Fk(x)= -------------- ; k element aus R / (o)
k+ e(hoch) x
1. Untersuchen sie das Monotonieverhalten dieser Funktion anhand der ersten Ableitung
2. Bestimmen Sie unter Beachtung der Fallunterscheidung die Asymptoten der Funktionsgraphen. |
Hallo alle miteinander,
ich muss in wenigen Tagen ein Referat über diese Funktion halten und komm bei diesen Teilaufgaben einfach nicht weiter.
bei den Definitionsbereichen komme ich auf :für k> 0 : D= R /(ln (-k))
k< 0: D = R/(n(k))
sowohl beim Monotonieverhalten als auch bei den Asymptoten habe ich zwar Lösungen aber die sind mit den Graphen nicht stimmig..
Bitte helft mir=))
Vielen Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:35 So 14.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo informix
Danke, ich habs korrigiert.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Di 16.06.2009 | | Autor: | jana90 |
Hallo nochmal , danke schon einmal und die Ableitung hatte ich auch so.
Monotonieverhalten habe ich so berechnet:
erste Ableitung gleich "0" gesetz => k=0, da [mm] e^x [/mm] ungleich 0
aber das Problem ist, das aus der Aufgabenstellung herausgeht das k ungleich 0 sein muss ( Definitionsmenge) , folglich schließe ich daraus das es keine waagrechten Tangenten gibt.
Und jetzt hab ich mir gedacht das die Vorzeichen der 1. Ableitung betrachten muss : der Nenner immer positiv aufgrund des Quadrats und der Zähler ist wiederum abhängig von k: also hab ich :
für k>0 => [mm] G_{f} [/mm] streng monoton steigend
für k<0 => [mm] G_{f} [/mm] streng monoton abnehmend
ABER: betrachte ich des Graphen müsste es so heißen :
k<-1 v k>0 => s.m.Steigend
-1 < k < 0 => s.m.abnehmend
und zu den Asymptoten des Funktionsgraphen:
wie gesagt hier weiß ich gar nicht weiterich hab zwar Ansätze aber ob die stimmen denk ich wohl eher nicht =(
:
erst mal für k>0 (man soll die Definitionsbereiche berücksichtigen)
ich bilde den Grenzwert von $ [mm] f_{k}(x)=\bruch{e^{x}}{k+e^{x}} [/mm] $
für x->+ oo = 1
für x->- oo = 0 => x-Achse ist Asymptote
für x->+ 0 = +oo
für x-> -0 = -oo
ich bin mir weder bei den Grenzwerten noch wie man erkennt warum die x-Achse Asymptote sein soll , sicher.
wäre super nett wenn mir hier jem. den Zusammenhang erklären könnte bzw. mich verbessern.
Vielen danke schon mal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo nochmal , danke schon einmal und die Ableitung hatte
> ich auch so.
> Monotonieverhalten habe ich so berechnet:
> erste Ableitung gleich "0" gesetz => k=0, da [mm]e^x[/mm] ungleich
> 0
> aber das Problem ist, das aus der Aufgabenstellung
> herausgeht das k ungleich 0 sein muss ( Definitionsmenge) ,
> folglich schließe ich daraus das es keine waagrechten
> Tangenten gibt.
Das sieht gut aus
> Und jetzt hab ich mir gedacht das die Vorzeichen der 1.
> Ableitung betrachten muss : der Nenner immer positiv
> aufgrund des Quadrats und der Zähler ist wiederum abhängig
> von k: also hab ich :
> für k>0 => [mm]G_{f}[/mm] streng monoton steigend
> für k<0 => [mm]G_{f}[/mm] streng monoton abnehmendfallend
Auch korrekt,
>
> ABER: betrachte ich des Graphen müsste es so heißen :
> k<-1 v k>0 => s.m.Steigend
> -1 < k < 0 => s.m.abnehmend
Wieso? Hier mal der Graph für k=-2;-1;1;2;3
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> und zu den Asymptoten des Funktionsgraphen:
> wie gesagt hier weiß ich gar nicht weiterich hab zwar
> Ansätze aber ob die stimmen denk ich wohl eher nicht =(
> :
> erst mal für k>0 (man soll die Definitionsbereiche
> berücksichtigen)
> ich bilde den Grenzwert von
> [mm]f_{k}(x)=\bruch{e^{x}}{k+e^{x}}[/mm]
> für x->+ oo = 1
> für x->- oo = 0 => x-Achse ist Asymptote
> für x->+ 0 = +oo
> für x-> -0 = -oo
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ,alles korrekt
>
> ich bin mir weder bei den Grenzwerten noch wie man erkennt
> warum die x-Achse Asymptote sein soll , sicher.
> wäre super nett wenn mir hier jem. den Zusammenhang
> erklären könnte bzw. mich verbessern.
>
> Vielen danke schon mal
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hi, jana,
> erst mal für k>0 (man soll die Definitionsbereiche
> berücksichtigen)
> ich bilde den Grenzwert von
> [mm]f_{k}(x)=\bruch{e^{x}}{k+e^{x}}[/mm]
> für x->+ oo = 1
> für x->- oo = 0 => x-Achse ist Asymptote
> für x->+ 0 = +oo
> für x-> -0 = -oo
Schau Dir mal die Graphen für k > 0 bei M.Rex an (rot, grün und blau); dann wirst Du erkennen, dass die letzten beiden Grenzwerte falsch sein müssen. Laut meinem ersten Hinweis (keine Definitionslücken für k > 0!) sind diese beiden Grenzwerte ja auch total überflüssig.
Und für k < 0 machen Grenzwerte auch nur Sinn, wenn man x [mm] \to [/mm] ln(-k) wählt; x [mm] \to [/mm] 0 kommt hier nur für den Sonderfall k = -1 in Frage.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hi, jana,
> Gegeben ist die Schar von Funktionen
> e (hoch) x
> Fk(x)= -------------- ; k element aus R / (o)
> k+ e(hoch) x
> 1. Untersuchen sie das Monotonieverhalten dieser Funktion
> anhand der ersten Ableitung
> 2. Bestimmen Sie unter Beachtung der Fallunterscheidung
> die Asymptoten der Funktionsgraphen.
> Hallo alle miteinander,
> bei den Definitionsbereichen komme ich auf :für k> 0 : D= R /(ln (-k))
Das kannst Du so nicht schreiben!
Für k > 0 ist -k < 0 und ln(-k) gibt's daher nicht!
Richtig wäre: k > 0: D = [mm] \IR
[/mm]
> k< 0: D = R/(ln(k))
Hier wiederum ist nun: D = [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{ln(-k) \} [/mm] richtig!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jana90 |
Hallo,
also wie ich jetzt festgestellt habe hatte ich einen komplett falschen Graphen, hab ihn zwar auch durch ein Programm zeichnen lassen aber das war wohl trotzdem falsch.
Zu Zwerglein:
ich hoffe ich habe das jetzt richtig verstanden was den Definitionsbereich angeht:
k>0 : D [mm] =\IR
[/mm]
k<0 : D [mm] =\IR [/mm] /{ln(-k)}
wenn ja danke für die Korrektur und um erlich zu sein die Korrektur von den Asymptoten habe ich nicht verstanden.
wieso sind die beiden letze Grenzwerte überflüssig?
und es müsste doch dann auch: x=1 eine Asymptote sein genauso wie die y-Achse. Bitte um erklärung. Danke =)
An Rex,
danke für den Graphen jetzt wird mir einiges klarer.
ich würde nur unheimlich gerne eine richtige Lösung für die Asymptoten wissen und wenn möglich mit Erklärung.
Vielen Dank im Vorraus für alle die sich bemühen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jana90 |
Danke M. Rex, wirklich vielen Dank jetzt hab ichs verstanden =))
achja die Grenzwerte von denen die Rede ist also
x -> + oo =1
x -> - oo = 0
gelten ja für k > 0
und für k<0 wird dann doch das k einfach mit einem negativem Vorzeichen versehen und erhält wieder die gleichen Grenzwerte wie bei k>0?!
ja ich hab schon immer Schwierigkeiten gehabt Grenzwerte zu berechnen
aber orientiere mich da gerne an der Formelsammlung oder auch an der Regel von L'Hospital aber ich war mir nicht sicher ob man diese Regel hier anwenden kann, da dann das k wegfallen würde und dann [mm] e^x [/mm] / [mm] e^x [/mm] hätte , quasi 1 und das würde zwar zum ersten Grenzwert passen aber nicht zum 2. bzw. war mir dann kla das ich Zählner und Nenner nicht einfach kürzen darf =)
Aber nur her mit Tipps , lass mich gerne belehren.
Im übrigen super Forum hier, und schnelle qualifizierte Antworten. Echt super!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für [mm] x\to\infty:
[/mm]
[mm] \bruch{e^{x}}{k+e^{x}}=\bruch{\infty}{\infty}, [/mm] also L'Hospital
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{e^{x}}{k+e^{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{e^{x}}{e^{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\to\infty}1=1
[/mm]
Für [mm] x\to-\infty:
[/mm]
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{e^{x}}{k+e^{x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{k+0}=0
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Hi, Jana,
> achja die Grenzwerte von denen die Rede ist also
> x -> + oo =1
> x -> - oo = 0
> gelten ja für k > 0
> und für k<0 wird dann doch das k einfach mit einem
> negativem Vorzeichen versehen und erhält wieder die
> gleichen Grenzwerte wie bei k>0?!
Naja und für k < 0 musst Du nun noch die (in diesem Fall uneigentlichen) Grenzwerte für x (von links und rechts) gegen die Definitionslücke x=ln(-k) ermitteln:
[mm] \limes_{x\rightarrow ln(-k)-0} \bruch{e^{x}}{k+e^{x}} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow ln(-k)+0} \bruch{e^{x}}{k+e^{x}} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
Demnach senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = ln(-k).
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 21.06.2009 | | Autor: | jana90 |
| Aufgabe | | Jede Funktion der Schar [mm] f_{k} [/mm] mit k > 0 hat einen Graphen, der mit seiner Asymptote und der y-Achse im I. Quadranten eine Fläche einschließt. Berechnen Sie den Inhalt [mm] J_{k} [/mm] dieser Fläche |
Hallo jetzt hab ich noch zu dieser Aufgabe eine Frage handelt sich immernoch um die gleiche Funktion ( es gibt 13 Teilaufgaben dazu =( )
und zwar wollt ich erst mal wissen ob denn auch das Integral das ich versucht hab zu berechnen, das richtige ist.
Es muss doch das Integral über dem Graphen bis zur Asymptote Y= 1 sein.
und dieses Flächenstück ist unendlich groß, und schmiegt sich immer weiter an die Asymptote an von unten.
dann ist auch kla das von von dem Integral den Grenzwert bestimmen muss. Nur haben wir so etwas noch nie gemacht und mein Lehrer meinte nur : " ja da musst du halt dann des Integral allgemein für einen Wert ausrechnen und dann das Integral von diesem Wert gegen unendlich streben lasen"
Ja jetzt hab ich das versucht und hab für das Integral die Formel angewendet:
Integral von f' (x) / f (x) = ln / f (x) / + C
also Integral in den Grenzen von 0 bis m ln / [mm] e^x [/mm] : [mm] k+e^x [/mm] /
und dann hab ich iwi als Grenzwert 1 raus.
kann das sein?
bzw. ist des soweit richtig??oder muss ich dann noch weiterrechnen weil eig. hät ich somit ja nur den Bereich unter dem Graphen ausgerechnet und müsste dies ja dann von 1 * oo abziehen?! aber wie macht man des denn?
Danke für die Bemühungen im Voraus
|
|
|
| |
|
Hallo jana90,
> Jede Funktion der Schar [mm]f_{k}[/mm] mit k > 0 hat einen Graphen,
> der mit seiner Asymptote und der y-Achse im I. Quadranten
> eine Fläche einschließt. Berechnen Sie den Inhalt [mm]J_{k}[/mm]
> dieser Fläche
> Hallo jetzt hab ich noch zu dieser Aufgabe eine Frage
> handelt sich immernoch um die gleiche Funktion ( es gibt
> 13 Teilaufgaben dazu =( )
> und zwar wollt ich erst mal wissen ob denn auch das
> Integral das ich versucht hab zu berechnen, das richtige
> ist.
> Es muss doch das Integral über dem Graphen bis zur
> Asymptote Y= 1 sein.
> und dieses Flächenstück ist unendlich groß, und schmiegt
> sich immer weiter an die Asymptote an von unten.
> dann ist auch kla das von von dem Integral den Grenzwert
> bestimmen muss. Nur haben wir so etwas noch nie gemacht und
> mein Lehrer meinte nur : " ja da musst du halt dann des
> Integral allgemein für einen Wert ausrechnen und dann das
> Integral von diesem Wert gegen unendlich streben lasen"
>
> Ja jetzt hab ich das versucht und hab für das Integral die
> Formel angewendet:
> Integral von f' (x) / f (x) = ln / f (x) / + C
Ich versteh' deine Schreibweise nicht so ganz. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Aber vielleicht nützt dir die kurze Erklärung des "uneigentlichen  Integrals", um zu erkennen, was du rechnen musst.
Zunächst berechnest du [mm] $F(a,b)=\int_{a}^{b}{f(x)\ dx}$ [/mm] und berechnest dann den Grenzwert [mm] $\lim_{b\to\infty}{F(a,b)}$.
[/mm]
>
> also Integral in den Grenzen von 0 bis m ln / [mm]e^x[/mm] : [mm]k+e^x[/mm]
> /
>
>
> und dann hab ich iwi als Grenzwert 1 raus.
> kann das sein?
> bzw. ist des soweit richtig??oder muss ich dann noch
> weiterrechnen weil eig. hät ich somit ja nur den Bereich
> unter dem Graphen ausgerechnet und müsste dies ja dann von
> 1 * oo abziehen?! aber wie macht man des denn?
>
> Danke für die Bemühungen im Voraus
>
>
Gruß informix
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
