Asymptoten einer e^x Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mi 22.03.2006 | | Autor: | meuchli |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=1+(t*x)+(1/(e^x)) [/mm] x, t [mm] \in \IR [/mm] t > 0
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion für x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] und geben sie die Gleichungen der Asymptoten der Funktionenschar an! |
Hey Leute,
Wenn x [mm] \to [/mm] + [mm] \infity [/mm] dann wird [mm] e^x [/mm] eigentlich immer größer, daraus folgt [mm] 1/(e^x) [/mm] ist eine Nullfolge und damit gibt es also keine waagerechten Asymptoten. Also strebt die Funktion gegen + [mm] \infty [/mm] , oder?
Und da [mm] e^x [/mm] niemals gleich Null ist, kann es keine senkrechte Asymptoten geben.
Und da es der Exponent im Nenner nicht eins größer ist, als der im Zähler müsste es auch keine schrägen Asymptoten geben...
Stimmt das soweit?
Bin nämlich durch die Aufgabenstellung, die ja Asymptotengleichungen fordert etwas verwirrt...
Was meint ihr dazu?
Danke schonmal im Voraus für die Mühe!
meuchli.
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=1+(t*x)+(1/(e^x))[/mm] x, t [mm]\in \IR[/mm]
> t > 0
> Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion für x [mm]\to[/mm] +
> [mm]\infty[/mm] und geben sie die Gleichungen der Asymptoten der
> Funktionenschar an!
> Hey Leute,
> Wenn x [mm]\to[/mm] + [mm]\infty[/mm] dann wird [mm]e^x[/mm] eigentlich immer
> größer, daraus folgt [mm]1/(e^x)[/mm] ist eine Nullfolge und damit
> gibt es also keine waagerechten Asymptoten.
Ja, besser ist es so zu erklären
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}1+(t*x)+(1/(e^x))=
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}1+t*\limes_{x\rightarrow\infty}x+\limes_{x\rightarrow\infty}(1/(e^x))
[/mm]
Also strebt die
> Funktion gegen + [mm]\infty[/mm] , oder?
Ja
> Und da [mm]e^x[/mm] niemals gleich Null ist, kann es keine
> senkrechte Asymptoten geben.
Jupp das stimmt
> Und da es der Exponent im Nenner nicht eins größer ist,
> als der im Zähler müsste es auch keine schrägen Asymptoten
> geben...
Kann leider nicht sagen ob es schräge asymptoten gibt, aber die regel die du beschreibst, gilt glaube ich nur für gebrochen rationale funktionen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Mick09 |
Hallo, mit deiner Nullfoge warst Du ja schon auf dem richtigen Weg.
Was bleibt denn übrig, wenn der letzte Term gegen 0 geht.
Tipp. Wenn Du die Asymptote von deiner Funktion abziehst bleibt nur 'ne Nullfolge übrig.
mfg
mick09
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mi 22.03.2006 | | Autor: | meuchli |
halt, das verstehe ich jetzt nicht ganz,
also zerlegt hab ich ja dann folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1 [/mm] + t [mm] \* \limes_{n\rightarrow\infty}x [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{e^{x}}
[/mm]
der erste term strebt gegen eins, der zweite gegen [mm] \infty [/mm] und der dritte gegen null. also bleibt ja nur [mm] \infty [/mm] übrig und es gibt keine asymptote
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Mick09 |
Genau diese Zerlegung war nicht so geschickt.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] - (1+t*x) = 0
Somit ist also a(x) = tx+1 die schiefe Asymptote.
MFG
mick09
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 22.03.2006 | | Autor: | meuchli |
also erstmal danke, dass du dir die zeit nimmst und dir die mühe machst.... aber ich verstehs immer noch nicht...
bleibt dann nicht
[mm] 1+\infty-0 [/mm] über?
wie kommst du auf - (1+t*x)
also ich dachte -0 entfällt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Mick09 |
Andere Möglichkeit,
zerlege f(x) in h(x)=1+tx und g(x)= [mm] e^{-x}.
[/mm]
h(x) ist eine Gerade und g(x) schmiegt sich immer mehr an, da g(x) gegen 0 für x gegen unendlich.
So kannst du dir vielleicht vorstellen, warum h(x) die Asymptote sein muss.
mfg
mick 09
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Mick09 |
Hallo nochmal,
1. ne schiefe Asymptote geht ja auch für x gegen unenlich (für t>1) gegen unendlich.
2. Definition der Asymptoten:
a) a(x) ist eine lineare Funktion
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (f(x) - a(x) =0
3. Deine Aufgabe:
[mm] e^{-x} [/mm] geht gegen Null
Der Rest ist eine lineare Funktio 1+t*x.
Setze ich nun a(x) = tx+1, so sind beide Bedingungen der Definitin erfüllt.
mfg
mick 09
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Mi 22.03.2006 | | Autor: | meuchli |
ahh... jetzt ist klar!
so eine schöne definition hatten wie leider nie...
Aber dankeschön für die Mühe!
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