Asymptotenbegriff Teil 2 < VK 37: Kurvendiskussionen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch welche ganzrationale Funktion können die folgenden Funktionen für betragsmäßig große x-Werte angenähert werden?
1. [mm]y=\bruch{3x^2-1}{x}[/mm]
2. [mm]y=\bruch{x-x^4}{x-2}[/mm]
3. [mm]y=\bruch{x^3}{1-x}[/mm]
4. [mm]y=\bruch{3x-5}{1-2x}[/mm]
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Mit den Informationen aus Teil 1 (die hier einzusehen sind) sollte es möglich sein, die Aufgabe 2 grob im Kopf zu lösen und sich ein Bild der zu erwartenden Asymptote zu machen. Rechnerisch soll diese Erwartung dann bestätigt werden.
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1. [mm] y=\bruch{3x^2-1}{x}
[/mm]
Gemäß der Regel für Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen, dass nach der Polynomdivision (Zähler geteilt durch Nenner) der erste Wert die Asymptote beschreibt und der zweite Wert (=Rest) für betragsmäßig große x-Werte den Grenzwert 0 hat und wegfällt, kürze ich die Gleichung durch x und erhalte
y=3x - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
der "Rest" in diesem Fall [mm] \bruch{1}{x} [/mm] hat den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} [/mm] = 0
Übrig bleibt y=3x, eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 3
2. [mm] y=\bruch{x-x^4}{x-2}
[/mm]
Für große x könnte die 2 im Nenner unerheblich sein, also lässt man sie weg, kürzt durch x und erhält:
[mm] y=1-x^3
[/mm]
Da die 1 für große x-Werte nicht von Belang ist, fällt sie weg. Es bliebe [mm] -x^3. [/mm] Diese Funktion ist der o.a. anderen Funktion für große x-Werte annähernd gleich
3. [mm] y=\bruch{x^3}{1-x}
[/mm]
ich kürze durch x und erhalte:
[mm] \bruch{x^2}{\bruch{1}{x}-1}
[/mm]
für große x nähert sich der Bruch im Nenner [mm] \bruch{1}{x} [/mm] der 0, kann also unberücksichtigt bleiben und wegfallen.
Im Nenner bliebe dann (etwa) der Wert -1.
Die gesuchte ganzrationale Funktion hieße dann: [mm] \bruch{x^2}{-1} [/mm] oder [mm] -x^2
[/mm]
4. [mm] y=\bruch{3x-5}{1-2x}
[/mm]
wieder durch x kürzen und man erhält:
[mm] \bruch{3-\bruch{5}{x}}{\bruch{1}{x}-2}
[/mm]
Da sowohl [mm] \bruch{5}{x} [/mm] als auch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] bei großen x-Werten gegen Null gehen, kann man sie weglassen !
Es bliebe: [mm] -\bruch{3}{2}
[/mm]
Die Annäherung an die o.a Funktion wird durch die Gerade [mm] y=-\bruch{3}{2} [/mm] gewährleistet.
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ACHTUNG ZUERST LESEN!!!
Du hast laut Lösungsbuch alles richtig gemacht, weil es nur um annähern ging. Bitte entschuldige die Verunsicherung!!!
Ich wollte eigentlich, dass ihr Asymptoten bestimmt, dann wäre mein Verfahren richtig, aber ihr sollt nur eine angenäherte Funktion geben, du verstehst den Unterschied? Man will praktisch nur wissen, welche Funktion für x gegen [mm] \infty [/mm] den Verlauf wiedergibt, dann gilt de facto die Regel mit dem höchsten Grad, nachdem man eben durch [mm] x^n [/mm] geteilt hat. Tut mir leid.
Die Lösungen sind für diese Art Aufgabe:
a) 3x, b) [mm] 1-x^3, [/mm] c) [mm] -x^2, [/mm] d) [mm] -\bruch{3}{2}
[/mm]
Dennoch lasse ich meine Anmerkungen unten stehen...falls es dich interessiert!
> 1. [mm]y=\bruch{3x^2-1}{x}[/mm]
>
> Gemäß der Regel für Asymptoten bei gebrochenrationalen
> Funktionen, dass nach der Polynomdivision (Zähler geteilt
> durch Nenner) der erste Wert die Asymptote beschreibt und
> der zweite Wert (=Rest) für betragsmäßig große x-Werte den
> Grenzwert 0 hat und wegfällt, kürze ich die Gleichung durch
> x und erhalte
>
> y=3x - [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> der "Rest" in diesem Fall [mm]\bruch{1}{x}[/mm] hat den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x}[/mm] = 0
>
> Übrig bleibt y=3x, eine Gerade durch den Ursprung mit der
> Steigung 3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") schön schön
>
> 2. [mm]y=\bruch{x-x^4}{x-2}[/mm]
>
> Für große x könnte die 2 im Nenner unerheblich sein, also
> lässt man sie weg, kürzt durch x und erhält:
>
> [mm]y=1-x^3[/mm]
>
> Da die 1 für große x-Werte nicht von Belang ist, fällt sie
> weg. Es bliebe [mm]-x^3.[/mm] Diese Funktion ist der o.a. anderen
> Funktion für große x-Werte annähernd gleich
hier muss ich leider sagen, du hast es dir zu leicht gemacht :/
Du musst zwei Verfahren auseinanderhalten. Einmal kann man allgemein den Grenzwert einer Funktion für x gegen [mm] \infty [/mm] bestimmen, dazu reicht es aus, sich einen groben Überblick über die Funktion zu verschaffen, so wie du es hier getan hast, also meinetwegen durch x zu teilen und zu sagen, ja [mm] -x^3 [/mm] bleibt übrig, also wird die Funktion für betragsgroße x wie [mm] -x^3 [/mm] aussehen. Soweit richtig!
Asymptoten sind jedoch genaue Funktionen! Und eine Asymptote kannst du nicht in der Art bestimmen, dass du einfach durch den Faktor x teilst, dies musst du immer durch Polynomdivision machen!
sonst hättest du (denn da hast du oben einen Fehler gemacht), wenn du nur durch x teilst:
[mm] \bruch{-x^3+1}{1-\bruch{2}{x}}
[/mm]
Dies ist jedoch nicht die Asymptotenfunktion! Für noch genauere Erklärung müsste ich noch einmal nachfragen, warum man hier jetzt Polynomdivision machen muss, aber es liegt daran, dass man die Funktionen aufteilen kann, also Zähler/Nenner ist die Asymptote + Rest
$ [mm] (-x^4+x):(x-2)=-x^3-2x^2-4x-7-\bruch{14}{(x-2)} [/mm] $
Das bedeutet, deine Asymptote ist [mm] a(x)=-x^3-2x^2-4x-7. [/mm] Der Rest beschreibt dann das Verhalten der Funktion für kleine x-Werte.
Wie du siehst, ist die Asymptote wesentlich komplizierter, obwohl sie natürlich eine Funktion dritten Grades ist, aber es handelt sich um die genaue Beschreibung des Verhalten des Graphens, während oben das Verfahren uns nur allgemein die Aussage [mm] -x^3 [/mm] geliefert hat.
Ansonsten noch einmal meine Erklärung dazu ansehen. Du kannst deine Antwort hier ja nochmal editieren für die unteren Aufgaben, ehe ich sie kommentiere
Merke dir einfach, dass du immer dann Polynomdivision durchführen musst, wenn der Nenner kleiner ist als der Zähler! Sollten Nenner und Zähler gleich sein, kannst du durch den Nenner teilen bzw durch x.
Das sollt ihr ja eben herausbekommen ;) Also wenn der Nenner größer ist als der Zähler, dann ist die Asymptote immer die x-Achse, denn die Funktion geht gegen 0. Für Nenner 0 Zähler ist es eine Parallele zur x-Achse, die du durch teilen (auch Polynomdivision) herausfindest. Nur bei Zähler größer Nenner ist es eine Funktion, die genau dem Grad entspricht ,wenn man Zählergrad - Nennergrad rechnet
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> 3. [mm]y=\bruch{x^3}{1-x}[/mm]
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> ich kürze durch x und erhalte:
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> [mm]\bruch{x^2}{\bruch{1}{x}-1}[/mm]
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> für große x nähert sich der Bruch im Nenner [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> der 0, kann also unberücksichtigt bleiben und wegfallen.
> Im Nenner bliebe dann (etwa) der Wert -1.
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> Die gesuchte ganzrationale Funktion hieße dann:
> [mm]\bruch{x^2}{-1}[/mm] oder [mm]-x^2[/mm]
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> 4. [mm]y=\bruch{3x-5}{1-2x}[/mm]
>
> wieder durch x kürzen und man erhält:
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> [mm]\bruch{3-\bruch{5}{x}}{\bruch{1}{x}-2}[/mm]
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> Da sowohl [mm]\bruch{5}{x}[/mm] als auch [mm]\bruch{1}{x}[/mm] bei großen
> x-Werten gegen Null gehen, kann man sie weglassen !
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> Es bliebe: [mm]-\bruch{3}{2}[/mm]
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> Die Annäherung an die o.a Funktion wird durch die Gerade
> [mm]y=-\bruch{3}{2}[/mm] gewährleistet.
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