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| Aufgabe | | Skizzieren Sie einen moeglichen Verlauf des Graphen der Funktion f mit f(x)= [mm] \bruch{4-x²}{x²-p} [/mm] |
Hallo.
An sich eine relative einfache Variante einer gebrochen rationalen Funktion. Dennoch hab ich einige Probleme mit dem asymptotischen Verhalten bei den jeweiligen Polstellen.
Also rausgefunden habe ich bisher:
Die Funktion ist achsensymmetrisch. Es liegen Schnittstellen mit der X - Achse bei x = -2 und x = 2 vor, Schnittstelle mit der Y - Achse bei f(0) = - [mm] \bruch{4}{9} [/mm] und zwei Polstellen bei x = -3 und x = 3 ... soweit war es ja kein Problem. Dann habe ich mir aber das asymptotische Verhalten bei den Polstellen angeschaut:
[mm] \lim_{x \to 3}f(x) [/mm] und x>3 - Ich kann es drehen und wenden wie ich will, ich kriege immer + Unendlich raus. Wenn wir uns mal den Zaehler angucken, so wird dort IMMER etwas positives rauskommen fuer x>3. Im Nenner siehts etwas anders aus: Je naeher wir an die 3 ruecken, desto naeher ruecken wir an die 9 dran und somit haetten wir = 0... aber wenn wir z.B. 3,1 einsetzen im Nenner, so sehen wir, dass dort auch etwas positives rauskommt. Es rueckt also vom positiven in die NAEHE der 0 ... also ist es fuer mich + Unendlich. Im Buch steht aber - Unendlich als richtiges Ergebnis, insofern steh ich bischen auf dem Schlauch.
Noch eine Frage zum asymptotischen Verhalten gegen +- Unendlich. Da der Grad sowohl bei Zaehler als auch bei Nenner identisch sind, haben wir ja eine Gerade als asymptote, die ungleich 0 ist. In diesem Fall also -1 ... wie finde ich aber heraus ob sich der Graph von unten an die -1 annaehert oder von oben?
Ich waere fuer eure Hilfe wirklich sehr dankbar!
MFG Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 So 12.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Es handelt sich hier um Polstellen mit Vorzeichenwechsel.
p=9 nehme ich mal an :)
Wenn sich x von rechts der 3 nähert geht der Graf in der Tat gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Denn im Zähler kommt doch etwas negatives raus!
4- ca.9<0.
Und unten etwas positives:
mehr als 9-9>0
Also schießt die Funktion dabe in die negative Unendlichkeit :)
Asymptoten:
Hier musst du Polynomdivision machen. Dann erhälst du einen Ausdruck, der, wenn du ihn gegen [mm] \pm \infty [/mm] laufen lässt, gegen -1 geht. Denn nach der Polynomdivision erhälst du -1 und dann noch ein paar "Schrottbrüche", also Brüche, in denen nur im nenenr ein x steht. Und für [mm] x->\infty [/mm] fallen diese Brüche weg. Stehen bleibt -1 als Asymptote.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:31 Mo 13.11.2006 | | Autor: | evilmaker |
Danke fuer die Hilfe.
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Baeumen nicht mehr.
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