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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:31 Mo 05.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
wo ich gerade am fibonaccieren bin, noch eine Frage, die ich nicht lösen kann.
Die klassische Fibonaccifolge kommt ja gern mit einer Kaninchenfortpflanzungserklärung daher.
Dabei wird vernachlässigt, dass diese Nager nun mal nicht ewig leben.
Ohne jedwede Fortpflanzungs- und Sterblichkeitsstatistik habe ich mal das vereinfachte Modell angesetzt, dass die Viecher nur m-mal fortpflanzungsfähig sind und danach aus der Vervielfachungsmechanik herausgenommen werden sollten. Ob sie dann auch irgendwann sterben, ist mathematisch nebensächlich.
Im Modell fangen wir also wie gewohnt mit [mm] a_1=1 [/mm] und [mm] a_2=1 [/mm] an, oder eben mit [mm] a_0=0, a_1=1. [/mm] Das ist egal.
Für eine (womöglich eher kurze Weile) gilt dann die normale Rekursion [mm] $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$.
[/mm]
Nun versuchen wir aber mal, die begrenzte Fruchtbarkeitsdauer von g Generationen mit einzuführen. Dazu führen wir den Zuwachs [mm] z_n=a_n-a_{n-1} [/mm] ein und modifizieren die Rekursionsformel dahingehend, dass sie für n>g so lautet: [mm] $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}-z_{n-g}$.
[/mm]
Das dürfte realistischer sein.
Wenig erstaunlich ist, dass auch dann [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] gegen ein [mm] q_g [/mm] konvergiert.
Nur fragt sich, wogegen eigentlich?
Hier die ersten paar Werte, nur mit einer Tabellenkalkulation ermittelt:
für g=3: [mm] q_3\approx{1,5128764}
[/mm]
für g=4: [mm] q_4\approx{1,54990607}
[/mm]
für g=5: [mm] q_5\approx{1,57544914}
[/mm]
für g=6: [mm] q_6\approx{1,59183123}
[/mm]
etc.
Klar ist natürlich, dass für [mm] g\to\infty [/mm] der Grenzwert [mm] q_g [/mm] für [mm] g\to\infty [/mm] gegen [mm] \phi=\bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm] geht.
Aber wie sind die Grenzwerte für endliches g eigentlich zu bestimmen?
Ich sehe da noch keinen Lösungsweg.
Was sind die exakten Werte für obige [mm] $q_i$?
[/mm]
Herzliche Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mo 05.11.2012 | | Autor: | hippias |
Wenn Du die Konvergenz von [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ [/mm] hast - der Grenzwert sei [mm] $\alpha$ [/mm] - dann folgt [mm] $\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=1+ \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}-\frac{z_{n-g}}{a_{n-1}}= [/mm] 1+ [mm] \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}-\frac{a_{n-g}}{a_{n-1}}+\frac{a_{n-g-1}}{a_{n-1}}= [/mm] 1+ [mm] \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}-\prod_{k=1}^{g-1} \frac{a_{n-k-1}}{a_{n-k}}+ \prod_{k=1}^{g}\frac{a_{n-k-1}}{a_{n-k}}$, [/mm] sodass [mm] $\alpha= [/mm] 1+ [mm] \frac{1}{\alpha}- \frac{1}{\alpha^{g-1}}+ \frac{1}{\alpha^{g}}$ [/mm] folgt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Mo 05.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo hippias,
> Wenn Du die Konvergenz von [mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] hast - der
> Grenzwert sei [mm]\alpha[/mm] - dann folgt [mm]\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=1+ \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}-\frac{z_{n-g}}{a_{n-1}}= 1+ \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}-\frac{a_{n-g}}{a_{n-1}}+\frac{a_{n-g-1}}{a_{n-1}}= 1+ \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}-\prod_{k=1}^{g-1} \frac{a_{n-k-1}}{a_{n-k}}+ \prod_{k=1}^{g}\frac{a_{n-k-1}}{a_{n-k}}[/mm],
> sodass [mm]\alpha= 1+ \frac{1}{\alpha}- \frac{1}{\alpha^{g-1}}+ \frac{1}{\alpha^{g}}[/mm]
> folgt.
Das ist überzeugend. Die resultierende Gleichung ist zwar nicht nach [mm] \alpha [/mm] aufzulösen, aber dennoch müsste [mm] \alpha [/mm] so wenigstens numerisch zu bestimmen sein, wenn auch nicht eindeutig.
Gesucht ist ja eine Nullstelle des Polynoms [mm] f(\alpha)=\alpha^{g+1}-\alpha^{g}-\alpha^{g-1}+\alpha-1
[/mm]
Trotzdem super. Vielen Dank für Deine Mühe!
Grüße ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
reverend
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