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Auf- ableitung Funktionsterm: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Mo 25.10.2004
Autor: Luziverares

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Ich habe hier einen Therm mit

[mm]V(t)=V0[1/(1+V0*t/L0)][/mm]

Umgeformt ist das
[mm]V(t)=V0[1+(V0*t/L0)]^-1[/mm]
Nur wie leite ich nun den gesamttherm auf bzw. ab?
Mfg S.Port

        
Bezug
Auf- ableitung Funktionsterm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mo 25.10.2004
Autor: Marc

Hallo Luziverares,

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Hallo.
>  Ich habe hier einen Therm mit
>  
> [mm]V(t)=V0[1/(1+V0*t/L0)][/mm]

Du meinst [mm] $V(t)=V_0*\bruch{1}{1+V_0*\bruch{t}{L_0}}$ [/mm]
  

> Umgeformt ist das
>  [mm]V(t)=V0[1+(V0*t/L0)]^-1[/mm]
>  Nur wie leite ich nun den gesamttherm auf bzw. ab?

[mm] $V(t)=V_0*\left(1+V_0*\bruch{t}{L_0}\right)^{-1}=V_0*\left(1+t*\bruch{V_0}{L_0}\right)^{-1}$ [/mm]

Für die Ableitung ist die MBKettenregel anzuwenden:
Die innere Funktion ist [mm] $1+t*\bruch{V_0}{L_0}$, [/mm] ihre Ableitung ist [mm] $\bruch{V_0}{L_0}$. [/mm]
Die äußere Funktion ist [mm] $V_0*x^{-1}$, [/mm] ihre Ableitung ist [mm] $V_0*(-1)*x^{-2}$, [/mm]
die Ableitung der zusammengesetzten Funktion ist
[mm] $V'(t)=\bruch{V_0}{L_0}*V_0*(-1)*\left(1+t*\bruch{V_0}{L_0}\right)^{-2}$ [/mm]


Stammfunktionen zu finden, ist von Natur aus etwas komplizierter, aber in diesem einfachen Fall kann man sie sehr schnell "erraten":

V(t) hat ja die Form [mm] $f(x)=a*(b+t*c)^{-1}$ [/mm]

Nun ist eine Stammfunktion zu [mm] $x^{-1}$ [/mm] die Funktion [mm] $\ln [/mm] x$, deswegen setze ich als Stammfunktion zu f an mit [mm] $a*\ln\left( b+t*c\right)$. [/mm]
Wenn man dies (mit der Kettenregel) ableitet, taucht ein "c*" auf (die innere Ableitung), was aber durch eine vorherige Multplikation mit [mm] $\bruch{1}{c}$ [/mm] ausgeglichen werden kann:

[mm] $F(x)=\bruch{1}{c}*a*\ln\left( b+t*c\right)$ [/mm]

Jetzt setzt du noch die passenden Konstanten ein, und du hast eine Stammfunkton zu V.

Ich hoffe, meine fast unmathematischen Überlegungen helfen dir trotzdem weiter.

Viele Grüße,
Marc

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