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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Mi 08.02.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Sei a*b=ab+a+b auf den reelen Zahlen [mm] \IR [/mm] Verknüpfung. Überprüfen sie ob damit [mm] (\IR,*) [/mm] eine Gruppe ist. |
Hallo,
ich fang mal an:
1)Abgeschlossenheit: Ja das passt, denn [mm] a,b\in \IR [/mm] so ist auch die addition dieser in [mm] \IR, [/mm] richtig?
2) Assoziativgesetz: Jau passt auch, da die Addition assoziativ ist, richtig?
3)Neutrales Element: Also, da wurde mir nahe gelegt es erstmal nur mit a zu machen. n ist definiert als mein neutrales Element, sodass gilt: a*n=a
Jetzt wurde das b=n, sodass a*n=an+a+n, dann wude ein Teil der Summanden genommen: an+n=n(a+1)=0, sodass für a=-1 das neutrale Element=0 ist.
Da verstehe ich zwei Dinge nicht: Wieso durfte ich mein b aufeinmal durch das n ersetzen? Ist das zuässig?
Jetzt hab ich für a=-1, dass 0 das neutale Element ist. Bin ich damit fertig, oder muss ich für a=-1 noch etwas machen?
Inverses Element: Dafür brauch ich ja mein neutrales Element, richtig? Denn es sollte gelten a*a(invers)= Neutrales Element=0, richtig? Das hab ich ausgerechnet und wieder a=-1 heraus beommen. Was muss ich denn mit dem a=-1 machen?
Wenn ich zusätzlich auf eine abelsche Gruppe untersuchen möchte, so muss die Verknüpfung auch kommutativ sein, also vertauschbar sein, richtig´? So und da die Verknüpfung eine Addition ist, ist es auch eine abelsche Gruppe, richtig?
So vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei a*b=ab+a+b auf den reelen Zahlen [mm]\IR[/mm] Verknüpfung.
> Überprüfen sie ob damit [mm](\IR,*)[/mm] eine Gruppe ist.
> Hallo,
>
> ich fang mal an:
>
> 1)Abgeschlossenheit: Ja das passt, denn [mm]a,b\in \IR[/mm] so ist
> auch die addition dieser in [mm]\IR,[/mm] richtig?
Du meinst die Summe ? Vergiß das Produkt nicht.
> 2) Assoziativgesetz: Jau passt auch, da die Addition
> assoziativ ist, richtig?
... und die Multiplikation in [mm] \IR
[/mm]
Hast Du es wirklich nachgerechnet ?
> 3)Neutrales Element: Also, da wurde mir nahe gelegt es
> erstmal nur mit a zu machen. n ist definiert als mein
> neutrales Element, sodass gilt: a*n=a
Also zeige: es gibt ein n mit a*n=a für jedes (!) a.
>
> Jetzt wurde das b=n, sodass a*n=an+a+n, dann wude ein Teil
> der Summanden genommen: an+n=n(a+1)=0, sodass für a=-1 das
> neutrale Element=0 ist.
Was soll das mit a=-1 ?
Es soll gelten: a*n=a für jedes (!) a. Welches n leistet das ?
>
> Da verstehe ich zwei Dinge nicht: Wieso durfte ich mein b
> aufeinmal durch das n ersetzen? Ist das zuässig?
Die Frage verstehe ich nicht.
>
> Jetzt hab ich für a=-1, dass 0 das neutale Element ist.
> Bin ich damit fertig, oder muss ich für a=-1 noch etwas
> machen?
??? S. o.
>
> Inverses Element: Dafür brauch ich ja mein neutrales
> Element, richtig?
Jaaaaaa
> Denn es sollte gelten a*a(invers)=
> Neutrales Element=0, richtig? Das hab ich ausgerechnet und
> wieder a=-1 heraus beommen. Was muss ich denn mit dem a=-1
> machen?
????? Die Frage ist: gibt es zu jedem a ein [mm] a^{-1} [/mm] mit: [mm] a*a^{-1}=0 [/mm] ??
>
> Wenn ich zusätzlich auf eine abelsche Gruppe untersuchen
> möchte, so muss die Verknüpfung auch kommutativ sein,
> also vertauschbar sein, richtig´? So und da die
> Verknüpfung eine Addition
Da wird auch multipliziert !
FRED
> ist, ist es auch eine abelsche
> Gruppe, richtig?
>
> So vielen Dank im Voraus!
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