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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Palme |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f. Bilden Sie mehrere Ableitungen und versuchen Sie damit eine Vermutung zur n-ten Ableitung fn(x)und zu einer Stammfunktion F(x)aufzustellen.Weisen Sie die von Ihnen gefundene Stammfunktion nach.
[mm] f(x)=x*e^x [/mm] |
Ich habe die Funktion f(x)dreimal abgeleitet und bin zur folgendem Ergebnis gekommen:
Vermutung: [mm] fn(x)=e^x(n+x)=ne^x+x*e^x
[/mm]
Nach diesem Schritt habe ich gedacht ich kann nun die n-te Ableitung hochleiten und komme dadurch zur Stammfunktion F(x). Dem ist nicht so, denn die Stammfunktion von [mm] f(x)=e^x [/mm] ist [mm] F(x)=e^x [/mm] und dadurch komme ich nicht zur der vom Lehrer gewünschten Lösung.
Meine Frage lautet: was muss ich tun um von der n-ten Funkton [mm] fn(x)=e^x(n+x)=ne^x+x*e^x [/mm] auf die Stammfunktion zu kommen?
Die Lösung [mm] lautet:F(x)=(x-1)*e^x
[/mm]
Ein paar Tips für die anschließende vollständige Induktion zum Beweis der Stammfunkton wären auch sehr hilfreich. Vielen Dank für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion f. Bilden Sie mehrere Ableitungen
> und versuchen Sie damit eine Vermutung zur n-ten Ableitung
> fn(x)und zu einer Stammfunktion F(x)aufzustellen.Weisen Sie
> die von Ihnen gefundene Stammfunktion nach.
>
> [mm]f(x)=x*e^x[/mm]
> Ich habe die Funktion f(x)dreimal abgeleitet und bin zur
> folgendem Ergebnis gekommen:
>
> Vermutung: [mm]fn(x)=e^x(n+x)=ne^x+x*e^x[/mm]
Richtig. Es ist [mm]f^{(n)}(x)=e^x(n+x)[/mm]
Wenn Du willst kannst Du das mit Induktion beweisen.
>
> Nach diesem Schritt habe ich gedacht ich kann nun die n-te
> Ableitung hochleiten
Na, na , wo hast Du denn dieses fürchterliche Wort "hochl.." her ?
> und komme dadurch zur Stammfunktion
> F(x). Dem ist nicht so, denn die Stammfunktion von [mm]f(x)=e^x[/mm]
> ist [mm]F(x)=e^x[/mm] und dadurch komme ich nicht zur der vom Lehrer
> gewünschten Lösung.
>
> Meine Frage lautet: was muss ich tun um von der n-ten
> Funkton [mm]fn(x)=e^x(n+x)=ne^x+x*e^x[/mm] auf die Stammfunktion zu
> kommen?
>
> Die Lösung [mm]lautet:F(x)=(x-1)*e^x[/mm]
Manchmal, aber eher selten, bez. man eine Stammfunktion von f auch als -1-te Ableitung
Nun Setze mal formal in
[mm]f^{(n)}(x)=e^x(n+x)[/mm]
das n=-1. Dann erhältst Du die Funktion F(x):= [mm] (-1+x)e^x
[/mm]
Wenn Du nun differenzierst, siehst Du: [mm] F'(x)=xe^x
[/mm]
FRED
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> Ein paar Tips für die anschließende vollständige
> Induktion zum Beweis der Stammfunkton wären auch sehr
> hilfreich. Vielen Dank für die Hilfe
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Di 23.11.2010 | | Autor: | Palme |
Vielen dank. Deine Hilfe hat mir sehr geholfen.
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