Aufg gelöst nur nicht logisch < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab folgende Aufgabe:
Karl-Heinz hat im Urlaub 12 Souveniers erstanden, die er seinen drei Kegelbrüdern schenken will. Der erste soll n1, der zweite n2, der dritte n3 Souveniers erhalten (n1+n2+n3=12).
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn n1, n2 und n3 vor der Verteilung der Souveniers festgelegt werden?
(Hier ist es ja so, das ich den ersten betracht. Dann denn zweiten unter der Bedingung das der erst schon was bekommen hat, Dann der dritte unter der Bedingung das der erst und zweite was bekommen hat. Hätte ich nicht einfach gleich schreiben können (12 ü n1*n2*n3) !?)
Lösung: ü=über
(12 ü n1)*(12-n1 ü n2)*(12-n1-n2 ü n3)
=12!/n1!(12-n1)!*(12-n1)!/n2(12-n1-n2)!*(12-n1-n2)!/n3!(12-n1-n2-n3)!
=12!/n1!*n2!*n3!*(12-n1-n2-n3)!
=12 ü n1*n2*n3
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn n1, n2, n3 Element {0,1,...,12} beliebig gewählt werden können?
(Jetzt wird es wirklich interessant. Ich verstehe die Lösung vom Tutorium gar nicht. Wie kommt man da auf ne Zahl!?)
Lösung:
n1+n2+n3=12
0 größergleich n1;n2;n3 größer gleich 12
Summenzeichen (drunter n1+n2+n3=12) dahinter (12 über n1,n2,n3)=531441
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hi!
Verwende doch den Formeleditor.
Das so zu lesen ist sehr anstrengend. Unter folgendem Link kannst du sehen, wie man die Formeln hier eingibt:
https://matheraum.de/mm
Valerie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das Ergebnis in der a) ist nicht [mm] \vektor{12 \\ n_1*n_2*n_3}, [/mm] sondern [mm] \vektor{12 \\ n_1,n_2,n_3}. [/mm] Das ist ein sogenannter Multinomialkoeffizient und er bedeutet [mm] \frac{12!}{n_1!*n_2!*n_3!}.
[/mm]
In der Aufgabe b) will man nun über alle diese Multinomialkoeffizienten summieren. Nun ist es hilfreich den multinomialen Lehrsatz zu kennen, der eine Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes darstellt.
Es gilt [mm] (a_1+...+a_k)^n=\summe_{i_1+i_2+...+i_k=n}^{}\vektor{n \\ i_1, ..., i_k}a_1^{i_1}*...*a_k^{i_k}. [/mm] Daraus folgt dann dein Ergebnis, was auch nichts anderes als [mm] 3^{12}=(1+1+1)^{12} [/mm] ist. Darauf kann man allerdings auch anders kommen. Für Souvenir 1 gibt es 3 mögliche Empfänger. Für Souvenir 2, 3, ...., 12 auch. Daher gibt es insgesamt [mm] 3^{12} [/mm] Möglichkeiten.
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