Aufgabe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mo 15.11.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo zusammen. ich habe hier eine aufgabe. Ich komme da nicht weiter. kann bitte jemand mir helfen. [mm] (danke)^{3}
[/mm]
Wir betrachten die Vektoren.
[mm] v_{1}=(1,2,0,1,0) [/mm]
[mm] v_{2}=(0,2,0,1,0) [/mm]
[mm] v_{3}=(2,4,0,0,1) [/mm]
und die Einheitsvektoren [mm] e_{i} [/mm] im Raum [mm] \IR^{5} [/mm]
a) Für welche i sind die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, e_{i} [/mm] linear abhängig?
Also ich habe so angefangen. Ich setze jede einheitsvektor e1 bis e5 ein. Dann habe ich erst für e1 das herausbekommen. z.B.
[mm] v_{1}=(1,2,0,1,0) [/mm]
[mm] v_{2}=(0,2,0,1,0) [/mm]
[mm] v_{3}=(2,4,0,0,1) [/mm]
[mm] e_{1}=(1,0,0,0,0) [/mm]
[mm] \lambda_{1}+2\lambda_{3}+\lambda_{4}=0 [/mm]
[mm] 2\lambda_{1}+2\lambda_{2}+4\lambda_{3}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{1}+\lambda_{2}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{3}=0 [/mm]
so ich glaube ich habe es richtig angeordnet. weil die frage war ja (Für welche i sind die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, e_{i} [/mm] linear abhängig?) und ich wollte das so machen. jeder einheitsvektoren einzeln in die drei vektoren zusammen bringen und gucken, bei welchem e finde ich eine lambda die ungleich 0 ist. weiter habe ich so gemacht
[mm] v_{1}=(1,2,0,1,0) [/mm]
[mm] v_{2}=(0,2,0,1,0) [/mm]
[mm] v_{3}=(2,4,0,0,1) [/mm]
[mm] e_{2}=(0,1,0,0,0) [/mm]
[mm] \lambda_{1}+2\lambda_{3}=0 [/mm]
[mm] 2\lambda_{1}+2\lambda_{2}+4\lambda_{3}+\lambda_{4}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{1}+\lambda_{2}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{3}=0 [/mm]
und so weiter bis e5. aber ich bekomme überall wenn ich rechne lambda 0 raus. alle lambda sind null. und überall. Oder kann man das nicht so rechnen. wenn nicht, wei kann ich diese aufgabe rechnen?? HILFE BITTE
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Hallo!
> Also ich habe so angefangen. Ich setze jede einheitsvektor
> e1 bis e5 ein. Dann habe ich erst für e1 das
> herausbekommen. z.B.
Das vorgehen ist richtig!
> [mm]v_{1}=(1,2,0,1,0)[/mm]
> [mm]v_{2}=(0,2,0,1,0)[/mm]
> [mm]v_{3}=(2,4,0,0,1)[/mm]
> [mm]e_{1}=(1,0,0,0,0)[/mm]
>
>
> [mm]\lambda_{1}+2\lambda_{3}+\lambda_{4}=0[/mm]
>
> [mm]2\lambda_{1}+2\lambda_{2}+4\lambda_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}+\lambda_{2}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{3}=0[/mm]
Nur hier hast du dich verrechnet!
Wenn du die Bedingung aus der letzten Gleichung [mm] \lambda_{3}=0 [/mm] in die anderen drei Gleichungen einsetzt erhälst du:
[mm] \lambda_{1}+\lambda_{4}=0
[/mm]
[mm] 2\lambda_{1}+2\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}+\lambda_{2}=0
[/mm]
es gilt also:
[mm] \lambda_{1}=-\lambda_{2} [/mm] und
[mm] \lambda_{1}=-\lambda_{4} [/mm] bzw. [mm] \lambda_{4}=\lambda_{2}
[/mm]
Du erhälst also eine Lösung mit z.B. [mm] \lambda_{1}=-1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=\lambda_{4}=1
[/mm]
Also sind die Vektoren linear abhängig!
> [mm]v_{1}=(1,2,0,1,0)[/mm]
> [mm]v_{2}=(0,2,0,1,0)[/mm]
> [mm]v_{3}=(2,4,0,0,1)[/mm]
> [mm]e_{2}=(0,1,0,0,0)[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}+2\lambda_{3}=0[/mm]
>
> [mm]2\lambda_{1}+2\lambda_{2}+4\lambda_{3}+\lambda_{4}=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}+\lambda_{2}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{3}=0[/mm]
Hier bekommst du tatsächlich für alle [mm] \lambda_{i}=0 [/mm] heraus, also sind sie linear unabhängig!
Rechne die anderen einfach nochmal nach!
Wenn du noch Fragen hast, meld dich einfach!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Mo 15.11.2004 | | Autor: | SERIF |
ja aber bei den anderen bekomme ich auch alle lambda 0 raus.
Wie kann man meine aufgabe noch lösen. Ich glaube so wie ich anfange ist falsch. oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mo 15.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo!
Ich sehe ehrlich gesagt nicht wo dein Problem liegt!
Die Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3},e_{1} [/mm] sind linear abhängig.
Die Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3},e_{2} [/mm] sind linear unabhängig.
Wie du gesagt hast sind auch die anderen Varianten unabhängig!
Damit hast du doch dein Ergebnis für diese Aufgabe, oder nicht?
liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 15.11.2004 | | Autor: | SERIF |
Woher weißt du, dass das erste teil lineare abhängig ist?
Ich hatte das auch linearunabhängig gerechnet.
Danke nochmal. Kannst du bitte zeigen dass die erste teil Linearabhängig ist?
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Hallo!
Das siehst du in meiner ersten Antwort!
Du hast das Gleichungssystem ja richtig aufgestellt! Nur hast du dich beim weitergehen verrechnet!
Schaus dir einfach nochmal in meiner Antwort an!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 15.11.2004 | | Autor: | SERIF |
Danke dir. Kann man das Auch so rechnenen. Mit Gauß elimination. Ohne die Zeilen zu tauschen. Damit ich am ende weiß , welche vektor 0 0 0 0 0
geworden ist. Die frage. Velche werden 00000?
1 2 0 1 0
0 2 0 1 0
2 4 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
B) Man gebe i,j an so dass die v1 v2 v3 ei ej eine BASIS von R hoch 5 bilden:
Danke nochmal. du bist echt gut
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Hallo Serif!
Auf diese Weise kannst du nur bestimmen, wieviele unabhänge Vektoren es gibt, aber dass siehst du ja schon daran dass deine Vektoren aus dem [mm] \IR^{5} [/mm] sind, es also maximal 5 linear unabhängige gibt!
Nach dem Basisergänzungssatz, den du ja vielleicht in der Vorlesung mal gehört hast, kannst du deine drei Vektoren (wenn sie linear unabhängig sind - was bei uns ja erfüllt ist) stets zu einer Basis des [mm] \IR^{5} [/mm] ergänzen!
Nun hast du in a) ja diejenigen Vektoren bestimmt, die zu anderen drei bereits unabhängig sind!
Nun mußt du wieder ein Gleichungssystem - diesmal also mit 5 Gleichungen - aufstellen, und püfen ob für alle [mm] \lambda_{i}=0 [/mm] folgt! (die Vektoren für die in a die abhängigkeit folgte, kannst du dabei außer acht lassen)
Versuchs doch mal und schreib wie weit du kommst!
Liebe Grüße
Ulrike
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