Aufgabe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich hab hier ne Aufgabe, die ich nicht lösen kann.
Seien V ein Vektorraum und [mm] v_{1},..., v_{k} \in [/mm] V linear unabhängig. Sein w [mm] \in [/mm] V, so dass [mm] x_{1}+w,..., v_{k}+w [/mm] linear abhängig sind. Zeige: w liegt im Span von [mm] v_{1},..., v_{k}.
[/mm]
Ich weiß ja, da [mm] v_{1},..., v_{k} [/mm] linear unabhängig, dass [mm] v_{1},..., v_{k} [/mm] eine Basis von V bilden, d.h. ich kann w als Linearkombination darstellen, nämlich: w= [mm] \lambda_{1} v_{1}+...+ \lambda_{k} v_{k},
[/mm]
oder darf ich nicht davon ausgehen, dass [mm] v_{1},..., v_{k} [/mm] ne Basis ist?
Ab hier komm ich jetzt nicht mehr weiter.
Wäre nett, wenn sich jemand dafür Zeit nehmen würde. Danke.
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Annette!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> oder darf ich nicht davon ausgehen, dass $ [mm] v_{1},..., v_{k} [/mm] $ ne Basis ist?
Genau hier liegt der Fehler. Zwar die Menge [mm] $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ [/mm] linear unabhängig, daher jedoch noch keine Basis. Eine Basis wird sie erst dann, wenn die Anzahl der Vektoren in ihr der Dimension des Vektorraumes entspricht, sie eine maximale linear unabhängige Menge oder ein minimales Erzeugendensystem ist (einige Definitionen einer Basis).
Bauen wir einfach auf dem auf, was uns gegeben ist: wir wissen, dass [mm] $\{w+v_1,w+v_2,...,w+v_n\}$ [/mm] linear abhängig ist, d.h. also, dass es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors existiert:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot (w+v_k)}=\summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot v_k}+\summe_{k=1}^{n}{w\cdot\lambda_k}$
[/mm]
[mm] $\gdw \summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot v_k}=-\summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot w}$
[/mm]
Nehmen wir nun an, dass [mm] $w\notin \langle\{v_1,v_2,...,v_m\}\rangle$ [/mm] gilt. Dann muss in der Linearkombination von $w$ neben Elementen aus [mm] $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ [/mm] auch noch ein weiteres Element [mm] $v_{n+1}\notin \langle\{v_1,v_2,...,v_m\}\rangle$ [/mm] liegen. Es gilt also: [mm] $w=\summe_{k=1}^{n}{\mu_k\cdot v_i}+v_{n+1}$.
[/mm]
So, schaffst du es, den Beweis zu Ende zu führen? Wenn nicht, dann frag' einfach nach!
Liebe Grüße und Viel Erfolg!
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi Hanno!
Danke erstmal.
Aber ich komm da nicht weiter.
> Bauen wir einfach auf dem auf, was uns gegeben ist: wir
> wissen, dass [mm]\{w+v_1,w+v_2,...,w+v_n\}[/mm] linear abhängig ist,
> d.h. also, dass es eine nichttriviale Linearkombination des
> Nullvektors existiert:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot (w+v_k)}=\summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot v_k}+\summe_{k=1}^{n}{w\cdot\lambda_k}[/mm]
>
> [mm]\gdw \summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot v_k}=-\summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot w}[/mm]
>
>
> Nehmen wir nun an, dass [mm]w\notin \langle\{v_1,v_2,...,v_m\}\rangle[/mm]
> gilt. blau zu druckender Text Warum verwendest du hier m? Dann muss in der Linearkombination von [mm]w[/mm] neben
> Elementen aus [mm]\{v_1,v_2,...,v_n\}[/mm] auch noch ein weiteres
> Element [mm]v_{n+1}\notin \langle\{v_1,v_2,...,v_m\}\rangle[/mm]
> liegen. Es gilt also: [mm]w=\summe_{k=1}^{n}{\mu_k\cdot v_i}+v_{n+1}[/mm].
>
blau zu druckender Text
Leider komm ich dann immer noch nicht weiter. Muss ich das jetzt für w obern einsetzten? (Komm dann aber irgendwie auch nicht weiter)
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Annette!
Das $m$ war ein Tipfehler meinerseits, soll natürlich $n$ heißen - Tut mir leid.
Rechnen wir das Ganze nun einmal zu Ende:
Wir hatten $w$ über $ [mm] w=\summe_{k=1}^{n}{\mu_k\cdot v_k}+v_{n+1} [/mm] $ definiert. Setzen wir dies in unsere Ausgangsgleichung $ [mm] \summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot v_k}\left( =-\summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot w}\right) =w\cdot\summe_{k=1}^{n}{-\lambda_k} [/mm] $ ein, so erhalten wir:
$ [mm] \gdw \summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot v_k}=\left( \summe_{k=1}^{n}{\mu_k\cdot v_k}+v_{n+1} \right) \cdot\summe_{k=1}^{n}{-\lambda_k}$
[/mm]
$ [mm] \gdw \summe_{k=1}^{n}{\lambda_k\cdot v_k}=\left( \summe_{k=1}^{n}{\left( \summe_{i=1}^{n}{-\lambda_i} \right)\cdot \mu_k \cdot v_k } \right) +v_{n+1}\cdot\summe_{k=1}^{n}{-\lambda_k}$
[/mm]
$ [mm] \gdw \summe_{k=1}^{n}{\left( \lambda_k - \left( \summe_{i=1}^{n}{-\lambda_i} \right) \right) \cdot v_k}=v_{n+1}\cdot\summe_{k=1}^{n}{-\lambda_k}$
[/mm]
Links steht nun eine Linearkombination der Vektoren [mm] $v_1,v_2,...,v_n$, [/mm] rechts ein Vielfaches von [mm] $v_{n+1}$. [/mm] Daraus folgt, dass [mm] $v_{n+1}\in\langle\{v_1,v_2,...,v_n\}\rangle$ [/mm] gilt, was im Widerspruch zur Annahme [mm] $w\notin\langle\{ v_1,v_2,...,v_n\}\rangle$ [/mm] steht.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi Hanno!
Vielen, vielen Dank für deine Lösung. So ist mir das jetzt auch einleuchtend, aber ich wär nie selbst drauf gekommen.
Gruß
Annette
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