Aufgabe #119 (BraMo),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 23:29 Do 05.01.2006 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | | Es sei $p(n)$ die größte Primzahl, die $n$ teilt. Zeige, dass es unendlich viele positive ganze Zahlen $n$ gibt, für die $p(n)<p(n+1)<p(n+2)$ gilt. |
Viel Spaß!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 So 05.11.2006 | | Autor: | matze2 |
man nehme für n:
[mm] 2^{3}*3*5*7*11*13...
[/mm]
n + 1 ist dann das quadrat einer primzahl und n + 2 das doppelte einer höheren primzahl. die frage ist: warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mo 06.11.2006 | | Autor: | DirkG |
> n + 1 ist dann das quadrat einer primzahl [...] die frage ist: warum?
Das frag ich mich auch. Die Antwort ist allerdings sehr einfach: Es ist i.a. falsch, siehe z.B.
[mm] $$\begin{matrix} 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11+1 &=& 9241\\ 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1 &=& 120121\\ 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23+1 &=& 892371481\end{matrix} [/mm] .$$
Das sind alles Primzahlen, d.h. keine Quadrate von Primzahlen!
Gruß,
Dirk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 07.11.2006 | | Autor: | matze2 |
ich habe das ganze nur bis [mm] 2^{3}*3*5*7 [/mm] durchgerechnet und war dann so leichtsinnig zu behaupten, man könne diese reihe ewig fortsetzen. darum will ich mich entschuldigen und bedanken.
und jetzt zur aufgabe:
p(n)<p(n+1)<p(n+2) gilt natürlich nicht für jedes n. also ist es sinnvoll bedingungen für n anzugeben.
es seien [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] primzahlen wobei [mm] P_{1}
I: n [mm] =P_{1}^{2}-1
[/mm]
[mm] n+1=P_{1}^{2}
[/mm]
n [mm] =(P_{1}+1)*(P_{1}-1)
[/mm]
=>p(n)<p(n+1)
weil es (außer 2 und 3) keine 2 aufereinanderfolgende
natürliche zahlen gibt, die beide primzahlen sind (eine ist immer durch 2
teilbar) und so weder [mm] P_{1}+1 [/mm] noch [mm] P_{1}-1 [/mm] primzahlen sind und bei
der primfaktorzerlegung weiter zerlegt werden müssen, was im gegensatz zu n+1 steht, bei dem [mm] p(n+1)=P_{1} [/mm] gilt. p(n) aber ist kleiner als [mm] P_{1}.
[/mm]
II: n [mm] =P_{2}*2-2
[/mm]
[mm] n+2=P_{2}*2
[/mm]
[mm] p(n+2)=P_{2}
[/mm]
[mm] p(n+1)=P_{1} [/mm] (aus I)
[mm] P_{1}
=>p(n+1)<p(n+2)
jetzt fehlt noch der beweis, dass es unendlich viele veschiedene n gibt, auf die die bedingungen zutreffen. doch dieser beweis will mir einfach nicht
gelingen und solange es diesen nicht gibt, ist der rest natürlich auch unbewiesen.
bis denne
matze2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 07.11.2006 | | Autor: | DirkG |
I. ist vollkommen richtig, für [mm] $n=P_1^2-1$ [/mm] ist $p(n) < [mm] p_1=p(n+1)$.
[/mm]
Aber was soll das dann mit der Primzahl [mm] $P_2$ [/mm] und der erneuten Festlegung von $n$ ? Wenn du schon mal bei [mm] $n=P_1^2-1$ [/mm] bist, musst du auch dabei bleiben um die Kette $p(n)<p(n+1)<p(n+2)$ zu komplettieren. Also musst du dich um [mm] $p(n+2)=p(P_1^2+1)$ [/mm] kümmern!
Die Grundidee ist aber nicht schlecht - auf mathlinks.ro ist die Idee ausgebaut vorzufinden, indem man [mm] $n=p^{2^m}-1$ [/mm] mit einem "geeigneten" Exponenten $m$ betrachtet, also nicht nur $m=1$ wie bei dir...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:09 Fr 10.11.2006 | | Autor: | matze2 |
hi,
entschuldigung das meine antowrt so lange hat auf isch warten lassen. gründe dafür finden sich in meiner internetverbindung (wirelesslan).
ja, ich hätte wohl die bedingung [mm] n=P_{1}^{2}=P_{2}*2-2 [/mm] zu einer umforem müssen um die endlose anzahl an verschiedenen "gültigen" n zu beweisen.
da ich noch nicht weiß, welchen beruf ich später mal ausüben werde und ich vielleicht in richtung theoretische mathematik gehen will, wäre es für mich interessant zu wissen an welche altersgruppe die aufgabe gerichtet ist und ob man die fähigkeit des lösens auch trainieren kann oder sie eher eine talentfrage ist.
bis denne :)
matze2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Fr 10.11.2006 | | Autor: | DirkG |
> an welche altersgruppe die aufgabe gerichtet ist und
> ob man die fähigkeit des lösens auch trainieren kann oder
> sie eher eine talentfrage ist.
Ich kenne zwar nicht die Konditionen der BraMO, aber es wird ähnlich sein wie bei anderen Ma-Olympiaden in diversen Ländern: Derartige Aufgaben sind für Schüler der höchsten Gymnasialstufen, also so Alter 17 - 19 Jahre. Allerdings ist die hier schon recht anspruchsvoll, in Deutschland hier wäre das so etwa Bundesrunde Mathematikolympiade, oder Bundeswettbewerb 2.Runde.
Trainieren kann man bestimmte Techniken schon, aber ohne Talent geht sicher nix. Wenn es dich beruhigt: Es gibt jede Menge gute Mathematiker, die als Schüler bei solchen Wettbewerben nichts gerissen haben. Soll heißen, du musst dich nicht von solchen Aufgaben entmutigen lassen - Mathestudium läuft etwas anders. 
Gruß,
Dirk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 11.11.2006 | | Autor: | matze2 |
ja, das beruhigt mich wirklich als 14-jährigen 
aber eine frage habe ich noch zu den techniken, die sich aneignen lassen:
gibt es unter ihnen auch spezielle "tricks", die bei aufgabensteller sehr beliebt sind (wie zB die 3. binomische formel rückwärts) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 14.11.2006 | | Autor: | Brinki |
wenn du üben möchtest, solltest du zu Beginn einfach einmal alte Aufgaben mit Lösungen nachvollziehen.
In der Klassenstufe 9 solltest du vielleicht zunächst einmal die alten Aufgaben zum Landeswettbewerb Mathematik lösen. Siehe www.landeswettbewerb-mathematik.de
Auch auf der Seite der Matheolympiade gibt es viele alte Aufgaben mit tollen Lösungen.
Suche nach Strukturen und besonderen Tricks in den Beweisen. Versuche die Beweise in eigenen Worten zusammenzufassen. Merke dir die Tricks. Zeichne Geometrieaufgaben am PC nach (z. B. mit DynaGeo) Benutze ein Mathematikprogramm um algebraische Regeln zu verifizieren. Hiert tuts zum Teil bereits Excel oder OpenOfficeCalc. Ideal wäre Maple oder Derive.
Irgendwann kommt der Punkt, wo du selbst eigene Lösungsideen entwickeln wirst.
Diese Arbeit macht großen Spaß und bringt dich auch in anderen Fächern voran. Du lernst in besondem Maße abstrakt zu denken. Dies ist eine wichtige Voraussetzung für alle naturwissenschaftlichen Fächer. Im Studium später wirst du darüber hinaus besser mit den Beweismethoden vertraut sein als deine Kommilitonen.
Grüße
Brinki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 19.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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