Aufgabe #43 (GEO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:22 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei ABC ein beliebiges Dreieck mit den Seitenhalbierenden BD, CE. Zeige, dass diese genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn [mm] $b^2+c^2=5a^2$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Die Seitenhalbierenden im Dreieck schneiden sich im Verhältnis 2:1.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Do 19.05.2005 | | Autor: | vivien |
Hallo,
ich versuche seit zwei tagen deine Aufgabe zu loesen, komme aber nicht auf den Beweis.
Dein Tipp hilft nicht viel. Es ist ziemlich offensichtlicht, dass sich die Seitenhalbierenden sich im Verhaeltnis 2:1 schneiden. Kannst du mir einen weiteren Hinweis geben?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Do 19.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Vivien!
> Kannst du mir einen weiteren Hinweis geben?
Klar! Wenn S der Schnittpunkte der beiden Seitenhalbierenden ist, sei $s:=AS$ und $t:=BS$. Nehmen wir nun an, dass die Seitenhalbierenden senkrecht aufeinander stehen, so kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras Beziehungen zwischen $s,t$ und den Seitenlänge $a,b,c$ des Dreieckes herleiten. Genau genommen erhältst du drei Gleichungen, wobei du sie so umstellen kannst, dass du auf der einen Seite jeweils eine Linearkombination von [mm] $t^2$ [/mm] und [mm] $s^2$ [/mm] stehen hast. Du musst die drei Gleichungen dann so geschickt addieren, dass $s$ und $t$ wegfallen; dann solltest du die gewünschte Beziehung erhalten.
Hilft dir das?
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 So 22.05.2005 | | Autor: | vivien |
Hallo,
ich habe einen weiteren Loesungsweg gefunden.
gegeben ist ein Dreieck. Mit Hilfe eines Koordinatensystems findet man die folgenden Punkte:
-die Seitenhalbierenden liegen am Ursprung
A(0,2y) D(x,0)===Haelfte von AC
B(-2x,0) E(0,-y)===Haelfte von BC
C(2x,-2y)
[mm] a=\wurzel{(4x)^{2} +(-2y)^{2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{16x^{2} +4y^{2} }
[/mm]
[mm] b=\wurzel{(2x)^{2} +(4y)^{2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{4x^{2} +16y^{2} }
[/mm]
[mm] c=\wurzel{4x^{2} +4y^{2} }
[/mm]
Dann quadriert man die Gleichung
[mm] a^{2}=16x^{2}+4y^{2}
[/mm]
[mm] b^{2}=4x^{2}+16y^{2}
[/mm]
[mm] c^{2}=4x^{2}+4y^{2}
[/mm]
[mm] a^{2}+b^{2}=20x^{2}+20y^{2}
[/mm]
[mm] 5c^{2}=20x^{2}+20y^{2}
[/mm]
==== [mm] a^{2}+b^{2}=5c^{2}
[/mm]
Q.E.D.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mo 23.05.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo vivien
Dein Beweis mit der speziellen Wahl des Koordinatensystems ist schön.
Allerdings hast du nur gezeigt, wenn die Seitenhalbierenden [mm] $s_a$ [/mm] und [mm] $s_b$ [/mm] senkrecht stehen,
dann gilt [mm] $a^2+b^2=5c^2$.
[/mm]
Die Umkehrung hast du nicht gezeigt, denn mit deiner Wahl der Koordinaten setzt du voraus, dass [mm] $s_a$ [/mm] und [mm] $s_b$ [/mm] senkrecht stehen.
Um die Umkehrung beweisen zu können müsstest du zeigen, dass wenn [mm] $a^2+b^2=5c^2$ [/mm] gilt, du das Koordinatensystem so legen kannst, dass A(0,2y), B(-2x,0), C(2x,-2y) ist.
Dann wäre die Umkehrung auch gezeigt.
mfG Moudi
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Hallo Hanno!
> Es sei ABC ein beliebiges Dreieck mit den
> Seitenhalbierenden BD, CE. Zeige, dass diese genau dann
> senkrecht aufeinander stehen, wenn [mm]b^2+c^2=5a^2[/mm].
Hmm, gesucht ist also ein Beweis mit zwei Richtungen. Ich denke, ich habe jetzt eine Richtung gefunden. Ich bin davon ausgegangen, daß die Seitenhalbierenden senkrecht aufeinander stehen, und habe dazu folgende Skizze gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danach habe ich noch deinen Tip mit der 2:1 Teilung benutzt und habe aus der Skizze folgendermaßen gefolgert:
[m]\begin{gathered}
\left( 1 \right)\quad \overleftrightarrow {CM}^2 + \overleftrightarrow {BM}^2 = \overleftrightarrow {BC}^2 \hfill \\
\left( 2 \right)\quad \overleftrightarrow {EM}^2 + \overleftrightarrow {BM}^2 = \overleftrightarrow {EB}^2 \hfill \\
\hfill \\
\left( {2'} \right)\quad \left( {\frac{{\overleftrightarrow {CE}}}
{3}} \right)^2 + \left( {\frac{{2\overleftrightarrow {BD}}}
{3}} \right)^2 = \left( {\frac{{\overleftrightarrow {AB}}}
{2}} \right)^2 \Leftrightarrow \frac{{\overleftrightarrow {CE}^2 }}
{9} + \frac{{4\overleftrightarrow {BD}^2 }}
{9} = \frac{{\overleftrightarrow {AB}^2 }}
{4} \hfill \\
\left( {1'} \right)\quad \frac{4}
{9}\overleftrightarrow {CE}^2 + \frac{4}
{9}\overleftrightarrow {BD}^2 = \overleftrightarrow {BC}^2 \Leftrightarrow \overleftrightarrow {CE}^2 + \overleftrightarrow {BD}^2 = \frac{9}
{4}\overleftrightarrow {BC}^2 \hfill \\
\left( 3 \right)\quad \frac{{\overleftrightarrow {BD}^2 }}
{9} + \frac{4}
{9}\overleftrightarrow {CE}^2 = \frac{{\overleftrightarrow {AC}^2 }}
{4} \hfill \\
\hfill \\
\left( {2'} \right) + \left( 3 \right) \Rightarrow \left( {3'} \right)\quad \frac{5}
{9}\overleftrightarrow {CE}^2 + \frac{5}
{9}\overleftrightarrow {BD}^2 = \frac{{\overleftrightarrow {AB}^2 }}
{4} + \frac{{\overleftrightarrow {AC}^2 }}
{4} \Leftrightarrow \overleftrightarrow {CE}^2 + \overleftrightarrow {BD}^2 = \frac{{9\overleftrightarrow {AB}^2 }}
{{20}} + \frac{{9\overleftrightarrow {AC}^2 }}
{{20}} \hfill \\
\left( {1'} \right)\,{\text{einsetzen in}}\,\left( {3'} \right) \Rightarrow \left( 4 \right)\quad \frac{9}
{4}\overleftrightarrow {BC}^2 = \frac{{9\overleftrightarrow {AB}^2 }}
{{20}} + \frac{{9\overleftrightarrow {AC}^2 }}
{{20}} \Leftrightarrow \overleftrightarrow {BC}^2 = \frac{{\overleftrightarrow {AB}^2 }}
{5} + \frac{{\overleftrightarrow {AC}^2 }}
{5} \hfill \\
\Leftrightarrow 5\overleftrightarrow {BC}^2 = \overleftrightarrow {AB}^2 + \overleftrightarrow {AC}^2 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Ich habe im Grunde überall den Pythagoras, das 2:1-Verhältnis und die Tatsache, daß es sich um Seitenhalbierende handelt 
benutzt.
Ich denke, eine Beweisrichtung ist damit gezeigt.
Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Sa 21.05.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Ich löse die Aufgabe auf eine andere Art, so dass ich direkt beide Richtungen bekomme. Zuerst berechne ich die Seitenhalbierenden [mm] $s_b$ [/mm] und [mm] $s_c$ [/mm] aus den Seiten $a,b,c$.
Für [mm] $s_b$ [/mm] bezeichne ich den Winkel [mm] $\sphericalangle CDE=\delta$, [/mm] dann ergeben sich mit dem Cosinussatz für die Dreiecke BCD und ABD die beiden Gleichungen:
[mm] $a^2=(\frac b2)^2+{s_b}^2-bs_b\cos(\delta)$
[/mm]
[mm] $c^2=(\frac b2)^2+{s_b}^2-bs_b\cos(\pi-\delta)$
[/mm]
Addiert man die Gleichungen und beachtet [mm] $\cos(\pi-\delta)=-\cos(\delta)$, [/mm] dann ergibt sich
[mm] $a^2+c^2=\frac12 b^2+2{s_b}^2$ [/mm] oder [mm] ${s_b}^2=\frac12 a^2+\frac12 c^2-\frac14 b^2$ [/mm] und analog:
[mm] $s_c^2=\frac12 a^2+\frac12 b^2-\frac14 c^2$
[/mm]
[mm] $s_b$ [/mm] und [mm] $s_c$ [/mm] stehen genau dann senkrecht, wenn das Dreieck BCS rechtwinklig ist
[mm] $\Leftrightarrow a^2=(\frac23 s_b)^2+(\frac23 s_c)^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow a^2=\frac49(\frac12 a^2+\frac12 c^2-\frac14 b^2)+\frac49(\frac12 a^2+\frac12 b^2-\frac14 c^2)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow a^2=\frac49 a^2+\frac19 b^2+\frac19 c^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow 5a^2=b^2+c^2$
[/mm]
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo moudi!
Mal wieder super! Ich habe die Aufgabe ähnlich gelöst, ebenfalls mit dem Kosinussatz.
Liebe Grüße,
Hanno
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
