Aufgabe #56 (?),(GEO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 19:53 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
O sei ein Punkt innerhalb des Dreieckes ABC. Die Höhen des Dreiecks seien AD,BE,CF. Ferner seien P,Q,R die Lotfußpunkte der Lote von O auf AD,BE,CF. Zeige, dass die Dreiecke PQR und ABC ähnlich sind.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 So 24.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Im Anhang findet ihr eine Konstruktion des Problemes, die eine "Kleinigkeit" beinhaltet, die schon Hinweise auf die Lösung des Problemes gibt: nämlich der Kreis durch PQRNO. Versucht doch bitte zu zeigen, dass PQRNO auf einem Kreis liegen müssen und versucht dann mit Hilfe von Peripheriewinkelsatz und ein wenig Übersicht zu zeigen, dass die Winkel in PQR gleich denen in ABC sind.
Nur Mut, das ist nicht schwierig! Immer daran denken, dass vier Punkte genau dann auf einem Kreis liegen, wenn gegenüberliegende Winkel supplementär sind, sich also zu 180° ergänzen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße,
Hanno
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Nun gut, dann löse ich das ganze mal auf:
Die Winkel [mm] $\angle [/mm] ORN, [mm] \angle [/mm] NQO$ sind rechte Winkel, folglich ist das Viereck $ORNQ$ ein Sehnenviereck. Gleiches gilt für die Winkel [mm] $\angle [/mm] ORN, [mm] \angle [/mm] NPO$, daher ist auch das Viereck $ORNP$ ein Sehnenviereck. Es folgt, dass die Punkte O,R,N,P,Q auf einem Kreis liegen, wie es auch schon die Konstruktion in den Tips andeutet. Nun folgt der Rest über den Peripheriewinkelsatz: einerseits [mm] $\angle RQP=\angle RNP=90°-\angle DCN=\angle [/mm] ABC$, andererseits [mm] $\angle PRQ=\angle PNQ=90°-\angle NBD=\angle [/mm] BCA$. Damit stimmen $PQR$ und $ABC$ in allen Winkeln überein, sind daher ähnlich, was zu zeigen war.
Nun, damit lassen wir die Aufgabe dann mal ruhen.
Liebe Grüße,
Hanno
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