Aufgabe #78 (IMC),(LinA) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:27 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es seien [mm] $a_0,d\in \IR$ [/mm] und [mm] $a_j=a_0+j\cdot [/mm] d, j=1,2,...,n$. Man bestimme
[mm] $\vmat {a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_1 & a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1}\\ a_2 & a_1 & a_0 & \cdots & a_{n-2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_0}$
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Do 08.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Sei n [mm] \in \IN_0 [/mm] und A die [mm] \IR^{(n+1)x(n+1)} [/mm] Matrix aus der Aufgabenstellung.
Mit P1 := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 } [/mm] und P2 := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 } \in \IR^{(n+1)x(n+1)} [/mm] (die Matrizen hier sind 3x3, weil ich zu faul bin, mit den "..." rumzuhantieren ^^; ) gilt:
[mm] $\vmat{P1 A P2} [/mm] = [mm] \vmat{P1}*\vmat{A}*\vmat{P2} [/mm] = [mm] \vmat{A}$,
[/mm]
da P1 und P2 untere Dreiecksmatrizen sind und die Determinante dann das Produkt der Diagonalelemente ist.
Kurz, was P1 und P2 machen: zur k+1. Zeile wird die k. Zeile addiert, daraus ergibt sich eine Zeile (d,...,d,-d,...,-d), wobei das erste -d gerade auf dem Diagonaleintrag steht. Dann wird die letzte Spalte einmal auf alle anderen Spalten addiert, was eine obere Dreiecksmatrix erzeugt, die folgende Gestalt hat:
[mm] $\pmat{ a_0+a_n & a_1+a_n & a_2+a_n & \cdots & a_{n-1}+a_n & a_n \\ 0 & -2d & -2d & \cdots & -2d & -d \\ 0 & 0 & -2d & \cdots & -2d & -d \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -2d & -d \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -d}$
[/mm]
Diese Matrix hat - wie gesagt - obere Dreiecksgestalt, also ist die Determinate dieser Matrix:
[mm] $\vmat{A} [/mm] = [mm] (a_0+a_n)*(-2d)^k*(-d)$ [/mm]
k ist gerade die Größe der Matrix n+1 minus der ersten und letzten Spalte, also k=n-1. Damit ergibt sich als entgültige Formel:
[mm] $\vmat{A} [/mm] = [mm] (-1)^n*2^{n-1}*d^n*(a_0+a_n)$
[/mm]
Bemerkung: Ist n gerade (also liegt eine Matrix ungerader Größte vor), so vereinfacht sich [mm] $(a_0+a_n) [/mm] = [mm] (a_0 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] + n*d) = [mm] 2*(a_0+\bruch{n}{2}d) [/mm] = [mm] 2*a_{\bruch{n}{2}}$.
[/mm]
greetz
AT-Colt
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Hallo Colt,
sieht mir alles richtig aus:
>
> Mit P1 := [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 }[/mm]
> und P2 := [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 } \in \IR^{(n+1)x(n+1)}[/mm]
> (die Matrizen hier sind 3x3, weil ich zu faul bin, mit den
> "..." rumzuhantieren ^^; ) gilt:
Da bin ich nicht drauf gekommen, Glückwunsch!
> [mm]\vmat{P1 A P2} = \vmat{P1}*\vmat{A}*\vmat{P2} = \vmat{A}[/mm],
> da P1 und P2 untere Dreiecksmatrizen sind und die
> Determinante dann das Produkt der Diagonalelemente ist.
Klar.
> Kurz, was P1 und P2 machen: zur k+1. Zeile wird die k.
> Zeile addiert,
Du meinst: von der k+1. Zeile wird die k. Zeile subtrahiert,
> daraus ergibt sich eine Zeile
> (d,...,d,-d,...,-d), wobei das erste -d gerade auf dem
> Diagonaleintrag steht.
Auch klar.
> Dann wird die letzte Spalte einmal
> auf alle anderen Spalten addiert, was eine obere
> Dreiecksmatrix erzeugt, die folgende Gestalt hat:
>
> [mm]\pmat{ a_0+a_n & a_1+a_n & a_2+a_n & \cdots & a_{n-1}+a_n & a_n \\ 0 & -2d & -2d & \cdots & -2d & -d \\ 0 & 0 & -2d & \cdots & -2d & -d \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -2d & -d \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -d}[/mm]
>
> Diese Matrix hat - wie gesagt - obere Dreiecksgestalt, also
> ist die Determinate dieser Matrix:
> [mm]\vmat{A} = (a_0+a_n)*(-2d)^k*(-d)[/mm]
> k ist gerade die Größe der Matrix n+1 minus der ersten und
> letzten Spalte, also k=n-1. Damit ergibt sich als
> entgültige Formel:
>
> [mm]\vmat{A} = (-1)^n*2^{n-1}*d^n*(a_0+a_n)[/mm]
Elegante Lösung!
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 09.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Toellner!
Nachdem ich in der letzten Woche wohl zwei VDP-Klausuren in den Sand gesetzt habe, tut es gut, sowas mal gesagt zu bekommen ^^;
> > Kurz, was P1 und P2 machen: zur k+1. Zeile wird die k.
> > Zeile addiert,
> Du meinst: von der k+1. Zeile wird die k. Zeile
> subtrahiert,
Jo, da hab ich nicht aufgepasst, natürlich wird subtrahiert ^^
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Toellner |
hallo,
ich hatte mir überlegt, nach einer Zeile zu entwickeln, z.B. bei gradem n nach der mittleren, und so Symmetrien zu nutzen. Das war mir dann aber doch zu viel Arbeit...
Die Idee, die Matrix mit zwei volumeninvarianten Scherungen (geometrisch gesprochen) auf Dreieck zu bringen, find ich genial.
Grüße udn was das andere angeht: gute Besserung! Richard
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