Aufgabe #83 (IMC),(Alg) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 19:40 Sa 30.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei $R$ ein Ring der Charakteristik $0$. Ferner seien [mm] $e,f,g\in [/mm] R$ mit $e+f+g=0$ und [mm] $e^2=e, f^2=f, g^2=g$. [/mm] Man beweise, dass dann $e=f=g=0$ folgt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Hanno,
dass der Ring die Charakteristik 0 hat heißt, dass er nullteilerfrei ist, also ab = 0 nur für a=0 oder b=0.
Aus e² = e folgt 0 = e² - e = e(e-1) und dami ist e = 0 oder e = 1.
Das gilt für f und g genauso, also kann e + f + g = 0 nur gelten, wenn alle drei 0 sind.
Gruß, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo nochmal,
grad kommen mir Zweifel, ob Charakteristik 0 die Nullteilerfreiheit einschließt!? Oder heißt das bloß, dass die ganzen Zahlen einem Teilring isomorph sind?
Bin immer noch im Urlaub und habe nix dabei...
Gruß Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Richard!
Ringe der Charakteristik $0$ müssen leider nicht nullteilerfrei sein, wie das Beispiel [mm] $R:=\IZ \times \IZ$ [/mm] zeigt.
Allerdings weiß ich leider auch nicht, wie man díe Aufgabe stattdessen lösen könnte. Ich denke aber mal darüber nach jetzt... 
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Es gilt:
[mm] $e=e^2 [/mm] = [mm] (-(f+g))^2 [/mm] = [mm] f^2 [/mm] + fg + gf + [mm] g^2 [/mm] = fg + gf + f + g = fg + gf -e$,
also:
(1) $2e = fg+gf$.
Weiter erhalten wir:
$fg-gf$
$= f^2g + fgf - fgf - [mm] gf^2$
[/mm]
$= f(fg+gf) - (fg+gf)f$
[mm] $\stackrel{(1)}{=} [/mm] f(2e) - (2e)f$
$=2(fe-ef)$
$=2(f(-f-g)-(-f-g)f)$
[mm] $=2(-f^2-fg+f^2+gf)$
[/mm]
$=2(gf-fg)$
$=-2(fg-gf)$,
also:
$3(fg-gf)=0$.
Da der Ring die Charakteristik $0$ hat, folgt:
$fg-gf=0$,
also:
(2) $fg=gf$.
Aus (1) und (2) erhalten wir:
$2fg=2e$,
und somit:
(3) $fg=e$.
Aus $e+f+g=0$ und (3) folgt:
(4) $fg+f+g=0$.
Multiplikation dieser Gleichung (4) von links mit $f$ liefert wegen [mm] $f^2=f$:
[/mm]
$fg+f+fg=0$,
also:
(5) $2fg+f=0$.
Multiplikation der Gleichung (4) von rechts mit $g$ liefert wegen [mm] $g^2=g$:
[/mm]
$fg+fg+g=0$,
also:
(6) $2fg+g=0$.
Aus (5) und (6) ergibt sich:
$f=g$.
Analog zeigt man: $e=f$, also:
$e=f=g$.
Nun haben wir:
$0=e+f+g=3e$,
also wegen $char(R)=0$:
$e=0$,
und damit:
$0=e=f=g$,
was zu zeigen war.
Schade, dass ich nie an diesem Wettbewerb teilgenommen habe. Ich hätte zwar keine Chance gehabt, aber es macht schon Spaß.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
Dein Beweis ist gut!
Vielleicht kannst Du ihn noch verkürzen durch Multiplikation von Gleichung 5 mit g von rechts (statt Gleichung 4):
(5) 2fg + f = 0 | *g
2fg² + fg = 2fg + fg = 3fg = 0
also nach "kürzen" von 3 (wegen Charakteristik 0) und Gleichung 3:
e = fg = 0
Gleiches gilt dann analog für f und g.
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 So 14.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Richard!
Stimmt, so geht es in der Tat schneller, das hatte ich übersehen. Vielen Dank für den Hinweis und das Durchlesen!
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo,
also, nullteierfrei ist nicht...
Wenn jetzt aber na = 0 für ganze Zahlen n nur bei a = 0 gilt, also wenigstens die Einbettung von Z (n := 1+1+1+1...+1 , das Ganze n mal mit der 1 aus dem Ring, etc) nullteilerfrei ist, dann müsste es gehen:
[mm] e^{n} [/mm] = e , wie man durch Rekursion zeigen kann,
(e + f)² = (-g)² = g² = g = -(e + f), wie aus e + f + g = 0 und der Vertauschbarkeit von -1 folgt, und
(e + f)² = e + 2ef + f = -(e + f) , dito nach Binomi, also
2ef = -2(e + f) = 2g , wobei man 2 kürzen kann (kein Nullteiler), also
ef = g.
Außerdem ist
(e + f)³ = (-g)³ = -g = e + f und andrerseits nach "Trinomi"
(e + f)³ = e + 3ef + 3ef + f , Exponenten sind schon weggelassen, also
6ef + (e + f) = e + f
6 ef = 0
ef = 0 , da nach Vorraussetzung 6 kein Nullteiler, und
g = 0.
Das geht analog für e und f genauso.
Sorry, etwas unelegant, und mit Beweislücke:
Sind die ganzen Zahlen tatsächlich keine Nullteiler?
Gruß Richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Richard!
Leider ist der Beweis immer noch nicht vollständig, da du die Binomischen Formeln ausnutzt und dabei so Dinge wie $ef=fe$, was man erst zeigen müsste (der Ring war ja nicht als kommutativ vorausgesetzt),
Zu deiner Frage mit der Folgerung:
$nx=0 [mm] \quad \mbox{für ein} [/mm] \ n [mm] \in \IZ, \, [/mm] n [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] x=0$.
Ja, das kann man machen, weil es sofort aus der Definition der Charakteristik folgt.
Die Charakteristik eines Ringes $R$ ist die kleinste natürliche Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$nx=0$ für alle $x [mm] \in [/mm] R$,
und sie wird gleich $0$ gesetzt, wenn es keine solche natürliche Zahl $n$ gibt. Und aus $nx=0$ für bereits ein $x [mm] \in [/mm] R$, $x [mm] \ne [/mm] 0$, kann man folgern, dass auf jeden Fall [mm] $char(R)\ne [/mm] 0$ gilt. So erklärt sich die Folgerung, die du (und ich ebenfalls in meinem Beweis) angewendet hast.
Du müsstest jetzt also nur noch zeigen, dass die drei Elemente miteinander kommutieren.
Oder aber du schaust dir meinen Beweis mal an...
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 So 14.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Stefan,
Dank für Deine Hinweise!
Das mit der Kommutativität habe ich übersehen, das hast Du ja in deinem Beweis schon miterledigt mit gf - fg = 0 (Gleichung 2)...
Wichtig ist die Äquivalenz der Aussagen "es gibt ein n mit n*1 = 0" und "es gibt ein n: für alle a: na = 0". Der Beweis dazu ist mir zwar nicht klar, aber das kann ich ja nachlesen...
Grüße, Richard
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