Aufgabe #85 (?),(?) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:42 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man schreibe die Zahlen 0,1,2,...,2005 in eine Reihe; unter je zwei benachbarte dieser Zahlen schreibe man ihre Summe - man erhält auf diese Weise eine weitere Reihe von nun noch 2005 Zahlen. Dies führe man noch weitere 2004 Male durch, bis in der 2006-ten Reihe noch eine Zahl steht. Man bestimme diese Zahl.
Es geht also so los:
0 1 2 3 4 ... 2004 2005
1 3 5 7 ... 4009
4 8 12 ...
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno
> Man schreibe die Zahlen 0,1,2,...,2005 in eine Reihe; unter
> je zwei benachbarte dieser Zahlen schreibe man ihre Summe -
> man erhält auf diese Weise eine weitere Reihe von nun noch
> 2005 Zahlen. Dies führe man noch weitere 2004 Male durch,
> bis in der 2006-ten Reihe noch eine Zahl steht. Man
> bestimme diese Zahl.
>
> Es geht also so los:
>
> 0 1 2 3 4 ... 2004 2005
> 1 3 5 7 ... 4009
> 4 8 12 ...
Ist die erste Reihe 0 1 2 ... n, so ergibt sich [mm]n\cdot{}2^{n-1}[/mm] in der letzten Reihe.
Beweis durch Induktion:
Ind.-Anfang: Für die Reihe 0 1 ist das Ergebnis [mm]1=1\cdot{}2^{1-1}[/mm]
Ind.-Schritt: Sei die Bedingung für n erfüllt.
Die Koeffizienten in dem "Dreieck" mit der ersten Reihe 1 2 3 ... n+1 entsprechen genau denen mit erster Reihe 0 1 2 ... n plus denen die sich bei 1 1 1 .... 1 (n+1 mal) in der ersten Reihe ergeben.
Die Koeffizienten mit 1 1 1 ... 1 in der ersten Reihe entsprechen in der i-ten Reihe genau der 2-er Potenz [mm]2^{i-1}[/mm] (2 benachbarte 2-er Potenzen werden zur nächsthöheren aufsummiert).
Für die letzte Reihe von 1 2 3 ... n+1 ergibt sich also [mm]n\cdot{}2^{n-1}+2^n[/mm].
Die "Spitzen" der beiden Dreiecke mit 0 1 2 .... n bzw. 1 2 3 ... n+1 als erste Zeile sind genau benachbart. Ihre Summe ist [mm](n+1)\cdot{}2^{n}[/mm].
Das Ergebnis lautet also [mm]2005\cdot{}(2^{2004})[/mm].
MfG
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 So 28.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jan!
Wunderbare Lösung, so ähnlich (ebenfalls mit Induktion) habe ich es auch gelöst!
Liebe Grüße,
Hanno
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