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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 So 02.08.2009 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | g: [mm] \overrightarrow{X}=\vektor{3 \\ 4}+t*\vektor{2 \\ 7}
[/mm]
h: [mm] \overrightarrow{X}=\vektor{1 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
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Hallo,
ich habe mir zur Übung gerade mal die o.g. Aufgabe selber zusammengestellt.
Da ich den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Formen der Geradengleichung üben möchte, habe ich die zweite Gleichung
h: [mm] \overrightarrow{X}=\vektor{1 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
in die Hauptform umgewandelt, und zwar so:
x=1+1s /*(-3)
y=2+3s
-3x=-3-3s
y=2+3s
-3x+y=-1 /+3x
y=-1+3x
Um dann (sinnloser Weise) wieder in die Parameterform umzuwandeln:
[mm] \overrightarrow{X}=\vektor{0 \\ -1}+s*\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
Meine Erste Frage nun: Warum sind die beiden Parametergleichungen unterschiedlich?
h: [mm] \overrightarrow{X}=\vektor{1 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 3} \not= \overrightarrow{X}=\vektor{0 \\ -1}+s*\vektor{1 \\ 3}, [/mm] oder?
Im Prinzip habe ich doch bis jetzt nur umgewandelt, die Gleichung müsste doch identisch sein?
Die zweite Frage, unabhängig davon. Wenn ich die Richtungsvektoren der Gleichung g: und h: vergleiche, komme ich zu Ergebnis das die beiden Geraden nicht parallel sein dürften, denn:
[mm] \vektor{2 \\ 7}=v*\vektor{1 \\ 3} [/mm]
2=2*1 [mm] \Rightarrow [/mm] v=2
[mm] 7=\bruch{7}{3}*3 \Rightarrow v=\bruch{7}{3}
[/mm]
Also müsste ein Schnittpunkt existieren?
In meiner Zeichnung sind beide Geraden aber parallel? Warum?
Errechnet hätte ich den Schnittpunkt mit [mm] S=\vektor{5 \\ 12}
[/mm]
Was ist nun richtig und was falsch?
Beste Grüße...
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Hi, drahmas,
> g: [mm]\overrightarrow{X}=\vektor{3 \\ 4}+t*\vektor{2 \\ 7}[/mm]
> h: [mm]\overrightarrow{X}=\vektor{1 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 3}[/mm]
>
> ich habe mir zur Übung gerade mal die o.g. Aufgabe selber
> zusammengestellt.
> Da ich den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Formen
> der Geradengleichung üben möchte, habe ich die zweite Gleichung
>
> h: [mm]\overrightarrow{X}=\vektor{1 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 3}[/mm]
>
> in die Hauptform umgewandelt, und zwar so:
>
>
> x=1+1s /*(-3)
> y=2+3s
>
> -3x=-3-3s
> y=2+3s
>
> -3x+y=-1 /+3x
> y=-1+3x
>
> Um dann (sinnloser Weise) wieder in die Parameterform
> umzuwandeln:
>
> [mm]\overrightarrow{X}=\vektor{0 \\ -1}+s*\vektor{1 \\ 3}[/mm]
Schlecht, dass Du wieder den Buchstaben s als Parameter verwendest!
Nimm' lieber t oder so was!
Aber im Prinzip ist Deine Rechnung OK!
> Meine Erste Frage nun: Warum sind die beiden
> Parametergleichungen unterschiedlich?
Anders als das, was Du "Hauptform" nennst
(ich sag' übrigens "explizite Form" dazu, aber egal!),
ist die Parameterform einer Geraden
NICHT EINDEUTIG!
Man kann
- den Aufpunkt verändern
und
- den Richtungsvektor verändern.
(letzteren allerdings praktisch nur durch Multiplikation mit einer Konstanten)
> h: [mm]\overrightarrow{X}=\vektor{1 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 3} \not= \overrightarrow{X}=\vektor{0 \\ -1}+s*\vektor{1 \\ 3},[/mm] oder?
SO ist die Gleichung tatsächlich falsch, aber wenn Du - wie ich oben vorgeschlagen habe - den zweiten Parameter t nennst, kriegst Du eine wahre Aussage.
Rechnerische Begründung:
(1) Zufälliger Weise haben beide Parameterformen bereits denselben Richtungsvektor. (Dies müsste nicht sein: Der eine muss nur ein Vielfaches des anderen sein.)
Damit stellen beide schon mal parallele Geraden dar.
(2) Der Aufpunkt B(0; -1) der zweiten liegt auf der ersten, was Du sofort erkennst, wenn Du für s=-1 in die erste Gleichung einsetzt.
Somit haben die "beiden" parallelen Geraden zumindest den Punkt B gemeinsam; das geht aber nur, wenn beide sogar IDENTISCH sind.
Ergo: Beide Parameterformen stellen DIESELBE Gerade dar.
> Die zweite Frage, unabhängig davon. Wenn ich die
> Richtungsvektoren der Gleichung g: und h: vergleiche, komme
> ich zu Ergebnis das die beiden Geraden nicht parallel sein
> dürften, denn:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 7}=v*\vektor{1 \\ 3}[/mm]
>
> 2=2*1 [mm]\Rightarrow[/mm] v=2
> [mm]7=\bruch{7}{3}*3 \Rightarrow v=\bruch{7}{3}[/mm]
>
> Also müsste ein Schnittpunkt existieren?
> In meiner Zeichnung sind beide Geraden aber parallel?
Das ist eine Zeichenungenauigkeit.
Dein Beispiel ist sehr ungeschickt gewählt, da die beiden Richtungen FAST parallel sind:
[mm] 2*\vektor{1\\3} [/mm] = [mm] \vektor{2\\6}, [/mm] was dem Vektor [mm] \vektor{2\\7} [/mm] sehr nahe kommt.
Wenn Du sehr exakt zeichnest, wirst Du sehen, dass die beiden Geraden sich sehr wohl schneiden, der Schnittwinkel aber sehr klein ist.
Die Situation eignet sich also für eine zeichnerische Lösung praktisch nicht.
Andererseits ist es ganz gut, dass Du so was mal "erlebt" hast, denn Du erkennst daran, dass das Argument "Das sieht man doch" in der Mathematik fast nie akzeptiert wird.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 So 02.08.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo Zwerglein,
prima, danke, das hat sehr geholfen.
Hab bemerkt dass ich den Schnittpunkt falsch berechnet hatte. Das hat mich zusätzlich verwirrt...
[mm] S=\vektor{11 \\ 25}
[/mm]
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