Aufgabe vom Prof < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Yami |
Hello again :)
Ich habe hier eine schöne Aufgabe (die ist wirklich schön ^^ )
Für die Anwendung in der Statistik ist die Dichte der Gaußschen Normalverteilung gegeben durch:
f(x) = [mm] \bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})}
[/mm]
qobei o > 0 die Varianz und [mm] \mu \in \IR [/mm] der sogenannte Erwartungswert ist. Man berechne Extremwerte, Wendepunkte und untersuche f(x) auf Monotonie sowie auf asymptotisches Verhalten.
Also ich habe die aufgabe nun gelöst und wollte fragen da mein Prof im urlaub ist ob es so richtig sei:
1. Ableitung
f'(x) = [mm] \bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})} [/mm] * [mm] \bruch{2*\mu - 2*x}{2*o^2}
[/mm]
2. Ableitung
f''(x) = [mm] \bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})} [/mm] * [mm] (\bruch{2*\mu - 2*x}{2*o^2})^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})} [/mm] * [mm] \bruch{1}{o^2}
[/mm]
3.Ableitung
f'''(x) = [mm] \bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})} [/mm] * [mm] (\bruch{2*\mu - 2*x}{2*o^2})^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})} [/mm] * [mm] \bruch{2}{o^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})} [/mm] * [mm] \bruch{2*\mu - 2*x}{2*o^2}* \bruch{1}{o^2}
[/mm]
So und nun habe ich erstmal f'(x) = 0 gesetzt, da habe ich nur einen kandidaten rausbekommen x = [mm] \mu.
[/mm]
in f''(x) eingesetzt, [mm] f''(\mu) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{o^2 * \wurzel{2*\pi}} [/mm] rausbekommen
das wäre ein relatives maximum da <0
nun zum WP
dort habe ich als kandidaten bei f''(x) = 0 habe ich x = [mm] \mu [/mm] - o rausbekommen.
in f'''(x) eingesetzt kamm das hier raus [mm] f'''(\mu [/mm] - 0) = [mm] \bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}} [/mm] * [mm] e^{-2}*(-\bruch{2}{o^2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{o^3})
[/mm]
Somit liegt dort ein WP wei es ungleich 0 ist
zur monotonie habe ich ausgerechnet mit hilfe der differentialrechnung das
für [mm] x<\mu [/mm] die funktion steigt und für [mm] x>\mu [/mm] fällt sie
ist das so richtig oder ist mir irgendwo ein fehler eingeschlichen?
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> Hello again :)
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> Ich habe hier eine schöne Aufgabe (die ist wirklich schön
> ^^ )
>
> Für die Anwendung in der Statistik ist die Dichte der
> Gaußschen Normalverteilung gegeben durch:
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})}[/mm]
>
> qobei o > 0 die Varianz und [mm]\mu \in \IR[/mm] der sogenannte
> Erwartungswert ist. Man berechne Extremwerte, Wendepunkte
> und untersuche f(x) auf Monotonie sowie auf asymptotisches
> Verhalten.
>
> Also ich habe die aufgabe nun gelöst und wollte fragen da
> mein Prof im urlaub ist ob es so richtig sei:
>
> 1. Ableitung
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})}[/mm] * [mm]\bruch{2*\mu - 2*x}{2*o^2}[/mm]
>
> 2. Ableitung
> f''(x) = [mm]\bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})}[/mm] * [mm](\bruch{2*\mu - 2*x}{2*o^2})^2[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})}[/mm] * [mm]\bruch{1}{o^2}[/mm]
>
> 3.Ableitung
> f'''(x) = [mm]\bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})}[/mm] * [mm](\bruch{2*\mu - 2*x}{2*o^2})^3[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})}[/mm] * [mm]\bruch{2}{o^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{(x-\mu)^2}{2*o^2})}[/mm] * [mm]\bruch{2*\mu - 2*x}{2*o^2}* \bruch{1}{o^2}[/mm]
>
Gewöhne dir an deine Ableitungen zu vereinfachen! Dazu gehört gleiche Terme ausklammern, kürzen usw.
In dieser Form ist es leider sehr schwer das zu kontrollieren.
> So und nun habe ich erstmal f'(x) = 0 gesetzt, da habe ich
> nur einen kandidaten rausbekommen x = [mm]\mu.[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sagt mir mein elektronischer Gehilfe auch!
> in f''(x) eingesetzt, [mm]f''(\mu)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{o^2 * \wurzel{2*\pi}}[/mm]
> rausbekommen
> das wäre ein relatives maximum da <0
>
Sieht gut aus.
> nun zum WP
>
> dort habe ich als kandidaten bei f''(x) = 0 habe ich x =
> [mm]\mu[/mm] - o rausbekommen.
>
Derive meldet mir auch noch: [mm] \mu+o
[/mm]
Anmerkung: Die Funktion ist symmetrsich zu [mm] x=\mu
[/mm]
> in f'''(x) eingesetzt kamm das hier raus [mm]f'''(\mu[/mm] - 0) =
> [mm]\bruch{1}{o*\wurzel{2*\pi}}[/mm] * [mm]e^{-2}*(-\bruch{2}{o^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{2}{o^3})[/mm]
> Somit liegt dort ein WP wei es ungleich 0 ist
>
Ja jedenfalls ist dort ein WP!
> zur monotonie habe ich ausgerechnet mit hilfe der
> differentialrechnung das
>
> für [mm]x<\mu[/mm] die funktion steigt und für [mm]x>\mu[/mm] fällt sie
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Lässt sich auch aus Extremwerten und Randwertverhalten schließen.
> ist das so richtig oder ist mir irgendwo ein fehler
> eingeschlichen?
Habe nicht alles im Detail nachgerechnet, aber es scheint soweit alles zu stimmen
Gruß Patrick
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