Aufgabe zu Ringhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Coriolis |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper. Betrachte den Matrizenring [mm] Mat_{3}(K) [/mm] und darin die Matrix
M = [mm] \pmat{3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 4 & 7}.
[/mm]
Definiere einen Ringhomomorphismus K[X] [mm] \to Mat_{3}(K),
[/mm]
der X auf M schickt. Bestimme den Kern dieser Abbildung. |
Hallo!
Beim Bearbeiten meiner Aufgaben bin ich an dieser Aufgabe hängen geblieben und wäre für etwas Hilfe dankbar!
Mein Problem besteht darin eine Abbildung zu finden, die den Axiomen für einen Ringhomomorphismus genügt. Hier soll ja aus einem Polynomring in einen Matrizenring abgebildet werden. Nun kommt mir keine Idee wie ich ein Polynom beliebiger Größe auf M schicken kann. Ich habe erst einfach an eine konstante Abbildung gedacht, aber dann würde die 1 aus K[X] nicht auf die Einheitsmatrix abgebildet werden und das muss ja erfüllt sein, sonst wäre es ja kein Ringhomomorphismus.
Für einen Tipp wäre ich dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Höchstwahrscheinlich ist die Aufgabe so gemeint:
Für n [mm] \in \IN_0 [/mm] sei [mm] p_n \in [/mm] K[X] def. durch: [mm] p_n(X)=X^n
[/mm]
Du sollst nun einen Ringhomomorphismus $f: K[X] [mm] \to Mat_{3}(K) [/mm] $, so bestimmen, dass
(*) $ [mm] f(p_1)=M$
[/mm]
ist.
Ein Ringhomomorphismus $f: K[X] [mm] \to Mat_{3}(K) [/mm] $ ist aber durch (*) eindeutig bestimmt ! Warum ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Coriolis |
So ganz ist mir das leider nicht ersichtlich, ich sehe da keine eindeutige Bestimmtheit. Weil wenn [mm] f(p_{1}) [/mm] = M ist und ich für p1 irgendwas einsetzen kann und immer auf M abgebildet wird muss das doch eine konstante Abbildung sein, was aber nicht verträglich mit f(1) = 1 wäre. Oder bin ich auf dem Holzweg?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> So ganz ist mir das leider nicht ersichtlich, ich sehe da
> keine eindeutige Bestimmtheit. Weil wenn [mm]f(p_{1})[/mm] = M ist
> und ich für p1 irgendwas einsetzen kann und immer auf M
> abgebildet wird muss das doch eine konstante Abbildung
> sein, was aber nicht verträglich mit f(1) = 1 wäre. Oder
> bin ich auf dem Holzweg?
Du kannst nicht lesen ! Ich hatte definiert: [mm] p_1(X)=X [/mm] und allgemeiner: [mm] p_n(X)=X^n
[/mm]
Aus [mm] f(p_1)=M [/mm] folgt, da f ein Ringhomom. ist, [mm] f(p_n)= M^n [/mm] (n [mm] \in \IN_0)
[/mm]
Ist nun [mm] p(X)=a_0+a_1X+...+a_nX^n (a_j \in [/mm] K), so folgt:
[mm] p=a_0p_0+a_1p_1+...+a_np_n,
[/mm]
also
f(p)= [mm] a_0E+a_1M+...+a_nM^n
[/mm]
(E= Einheitsmatrix)
FRED
|
|
|
|
