Aufgabe zum Erzeugendensystem < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Do 26.02.2009 | | Autor: | Yami |
Hallo, ich bins mal wieder.
So ich habe hier eine Aufgabe zum Thema Erzeugendensystem kurz EZS.
Aus der Definition weiß ich:
eine Menge S = { [mm] \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 [/mm] } sei Teilmenge eines Vektorraumes X, läßt sich ein ein Vektor [mm] \vec{x} \in [/mm] X als Linearkobination der Menge S darstellen ist er ein EZS..... so ich hoffe mal das ich das richtig verstanden habe.
nun zur Aufgabe:
a)
Sei [mm] \mathcal{P}_{n} [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grade n mit n [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Untersuchen Sie, ob
[mm] \mathcal{U} [/mm] := [mm] \{p_n \in \mathcal{P}_n | p_n(0) = p_n(1) = 0 \}
[/mm]
ein Unterraum von [mm] \mathcal{P}_{n} [/mm] ist.
b)
Ermitteln Sie, ob durch
[mm] \mathcal{B} [/mm] :={1+x, [mm] x+x^{2} [/mm] , ...., [mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] x^{n} [/mm] }
eine Basis von [mm] \mathcal{P}_n [/mm] gegeben ist.
So nun habe ich a) bereits gelöst und herraus das es ein Unterraum von [mm] \mathcal{P}_n [/mm] ist.
Bei B habe ich mir gedacht das ich zeigen muss das es als Linearkombintaion darstellbar ist.
also [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i [/mm] * [mm] (x^{i - 1} [/mm] + [mm] x^{i})
[/mm]
so nun habe ich in den anderen übungsaufgeben wo vektoren vorkammen das so gelößt das ich die Linearkombination mit einem beliebigen Vektor gleichgesetzt habe und ein lineares Gleichungssystem aufgsetellt und es gelöst.
hier jedoch weiß ich nicht so ganz weiter in der Lösung von meinem Prof sieht es wie folgt aus:
er hat die summe gleich 5 gesetzt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i [/mm] * [mm] (x^{i - 1} [/mm] + [mm] x^{i}) [/mm] = 5
dann das Summenzeichen ausgeschrieben:
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] (x^{0} [/mm] + [mm] x^{1}) [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] (x^{1} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] ) + ..... + [mm] \lambda_n [/mm] * [mm] (x^{n - 1} [/mm] + [mm] x^{n} [/mm] ) = 5
darunter hatt er dann [mm] \lambda_1 [/mm] = 5, [mm] \lambda_2 [/mm] = -5, [mm] \lambda_3 [/mm] = 5, ...., [mm] \lambda_n [/mm] * [mm] x^{n} [/mm] bleibt übrig
geschrieben und gesagt das [mm] \mathcal{B} [/mm] kein EZS ist...
außerdem statnd da unterm
[mm] \lambda_n [/mm] * [mm] x^{n}
[/mm]
[mm] \pm [/mm] 5 noch...
Doch warum wie kommt man drauf? Bitte um rat
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Yami,
> Hallo, ich bins mal wieder.
>
> So ich habe hier eine Aufgabe zum Thema Erzeugendensystem
> kurz EZS.
>
> Aus der Definition weiß ich:
>
> eine Menge S = { [mm]\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} sei
> Teilmenge eines Vektorraumes X, läßt sich ein ein Vektor
> [mm]\vec{x} \in[/mm] X als Linearkobination der Menge S darstellen
> ist er ein EZS..... so ich hoffe mal das ich das richtig
> verstanden habe.
>
> nun zur Aufgabe:
>
> a)
> Sei [mm]\mathcal{P}_{n}[/mm] der Vektorraum der reellen Polynome
> vom Grade n mit n [mm]\in \IN_{0}.[/mm] Untersuchen Sie, ob
>
> [mm]\mathcal{U}[/mm] := [mm]\{p_n \in \mathcal{P}_n | p_n(0) = p_n(1) = 0 \}[/mm]
>
> ein Unterraum von [mm]\mathcal{P}_{n}[/mm] ist.
>
> b)
>
> Ermitteln Sie, ob durch
>
> [mm]\mathcal{B}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:={1+x, [mm]x+x^{2}[/mm] , ...., [mm]x^{n-1}[/mm] + [mm]x^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> eine Basis von [mm]\mathcal{P}_n[/mm] gegeben ist.
>
> So nun habe ich a) bereits gelöst und herraus das es ein
> Unterraum von [mm]\mathcal{P}_n[/mm] ist.
>
> Bei B habe ich mir gedacht das ich zeigen muss das es als
> Linearkombintaion darstellbar ist.
>
> also [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i[/mm] * [mm](x^{i - 1}[/mm] + [mm]x^{i})[/mm]
>
> so nun habe ich in den anderen übungsaufgeben wo vektoren
> vorkammen das so gelößt das ich die Linearkombination mit
> einem beliebigen Vektor gleichgesetzt habe und ein lineares
> Gleichungssystem aufgsetellt und es gelöst.
>
> hier jedoch weiß ich nicht so ganz weiter in der Lösung von
> meinem Prof sieht es wie folgt aus:
>
> er hat die summe gleich 5 gesetzt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i[/mm] * [mm](x^{i - 1}[/mm] + [mm]x^{i})[/mm] = 5
>
> dann das Summenzeichen ausgeschrieben:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm](x^{0}[/mm] + [mm]x^{1})[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm](x^{1}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] )
> + ..... + [mm]\lambda_n[/mm] * [mm](x^{n - 1}[/mm] + [mm]x^{n}[/mm] ) = 5
>
> darunter hatt er dann [mm]\lambda_1[/mm] = 5, [mm]\lambda_2[/mm] = -5,
> [mm]\lambda_3[/mm] = 5, ...., [mm]\lambda_n[/mm] * [mm]x^{n}[/mm] bleibt übrig
> geschrieben und gesagt das [mm]\mathcal{B}[/mm] kein EZS ist...
>
> außerdem statnd da unterm
> [mm]\lambda_n[/mm] * [mm]x^{n}[/mm]
>
> [mm]\pm[/mm] 5 noch...
>
>
> Doch warum wie kommt man drauf? Bitte um rat
Sortiere die Gleichung
[mm]\lambda_1 * (x^{0} + x^{1})+ \lambda_2 * (x^{1} + x^{2} )
+ ..... + \lambda_n * (x^{n - 1} + x^{n} ) = 5[/mm]
nach x-Potenzen:
[mm]\lambda_{1}*x^{0}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)*x^{1}+ \ ... \ + \left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}\right)*x^{n-1}+\lambda_{n}x^{n}=5=5*x^{0}+0*x^{1}+ \ ... \ + 0*x^{n-1} + 0*x^{n}[/mm]
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
[mm]\lambda_{1} = 5 [/mm]
[mm]\lambda_{1} + \lambda_{2}=0[/mm]
...
[mm]\lambda_{n-1} + \lambda_{n}=0[/mm]
[mm]\lambda_{n} = 0 [/mm]
Hier sieht man ja schon, daß alle diese Gleichungen nicht erfüllbar sind.
Daher ist auch [mm]\mathcal{B}[/mm] keine Basis von [mm]\mathcal{P}_{n}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 26.02.2009 | | Autor: | Yami |
hmm... so ganz sehe ich das noch nicht.....
kannst du mir das vielleicht noch anderes erklären? weil das mit dem nach x sortieren verstehe ich ja doch was sehe ich bei:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 5
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
....
[mm] \lambda_n [/mm] = 0
dort sehe ich doch nur das [mm] \lambda_2 [/mm] = -5 sein muss und [mm] \lambda_n [/mm] irgendwie aus der reihe tanzt.... blicke da nicht so ganz durch?
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Hallo Yami,
> hmm... so ganz sehe ich das noch nicht.....
>
> kannst du mir das vielleicht noch anderes erklären? weil
> das mit dem nach x sortieren verstehe ich ja doch was sehe
> ich bei:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 5
>
> [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] = 0
>
> ....
>
> [mm]\lambda_n[/mm] = 0
>
> dort sehe ich doch nur das [mm]\lambda_2[/mm] = -5 sein muss und
> [mm]\lambda_n[/mm] irgendwie aus der reihe tanzt.... blicke da nicht
> so ganz durch?
Die Punkte sollen andeuten, dass es Gleichungen der Bauart
[mm]\lambda_{k-1}+\lambda_{k}=0[/mm]
für k=2 bis n gibt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 26.02.2009 | | Autor: | Yami |
Ja das habe ich auch verstanden, doch ich weiß nicht warum mir das nun sagt das es kein EZS ist, weil mit der Definition für EZS die ich oben geschrieben habe erkenne ich das nicht.... gibt es da noch ne andere Definition oder habe ich da was übersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 26.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Um zu zeigen, dass es KEIN EZS ist musst du doch nur einen einzigen Vektor aus dem Raum angeben, der nicht erzeugt werden kann. Dass dein Prof grade 5 genommen hat ist egal, er haette auch 7 nehmen koennen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Do 26.02.2009 | | Autor: | Yami |
Achso, ja ganz genau, steht auch hier so bloß war etwas perplex wegen der 5... habe hier noch eine aufgabe werde das jetzt hier mal versuchen.
danke euch beiden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 26.02.2009 | | Autor: | Yami |
Da wäre doch noch was:
2 Sachen
1.
wie kommst man von dieser gleichung:
[mm] \lambda_{1}*x^{0}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)*x^{1}+ [/mm] \ ... \ + [mm] \left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}\right)*x^{n-1}+\lambda_{n}x^{n}=5
[/mm]
auf die gleichung:
[mm] 5=5*x^{0}+0*x^{1}+ [/mm] \ ... \ + [mm] 0*x^{n-1} [/mm] + [mm] 0*x^{n}
[/mm]
???
2.
weil ich soll ja wie gesagt wurde schauen ob die 5 darstellbar ist doch mit der obigen gleichung ist sie doch darstellbar?
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> Da wäre doch noch was:
Hallo,
es soll ja gezeigt werden, daß das Polynom 5 nicht mit den besagten Vektoren dargestellt werden kann.
Man schreibt die 5 als Polynom n-ten Grades, also
> [mm]5=5*x^{0}+0*x^{1}+[/mm] \ ... \ + [mm]0*x^{n-1}[/mm] + [mm]0*x^{n}[/mm].
Wenn die 5 darstellbar ist mit Deiner Vektorenmenge, dann muß gelten
> [mm]\lambda_{1}*x^{0}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)*x^{1}+[/mm] ... + [mm]\left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}\right)*x^{n-1}+\lambda_{n}x^{n}=5[/mm],
also
[mm] \lambda_{1}*x^{0}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)*x^{1}+[/mm] [/mm] ... + [mm]\left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}\right)*x^{n-1}+\lambda_{n}x^{n}
=5*x^{0}+0*x^{1}+[/mm] \ ... \ + [mm]0*x^{n-1}[/mm] + [mm][mm] 0*x^{n}
[/mm]
Jetzt vergleicht man die Koeffizienten vor den Potenzen von x und erhält
[mm] \lambda_{n}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{n-1}+\lambda_{n}=0 [/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \lambda_{1}+\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=5
[/mm]
Wenn Du nun von oben ausgehend bis [mm] \l ambda_{1}+\lambda_{2}=0das [/mm] GS bearbeitest, dann bekommst Du [mm] \lambda_n=...=\lambda_1=0
[/mm]
Es muß abe [mm] \lambda_1 [/mm] gleichzeitig =5 sein.
das ist nicht möglich, daher kannst Du mit Deiner Vektorenmenge das Polynom p(x)=5 nicht erzeugen.
Gruß v. Angela
>
> 2 Sachen
>
> 1.
> wie kommst man von dieser gleichung:
>
> [mm]\lambda_{1}*x^{0}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)*x^{1}+[/mm]
> \ ... \ +
> [mm]\left(\lambda_{n-1}+\lambda_{n}\right)*x^{n-1}+\lambda_{n}x^{n}=5[/mm]
>
> auf die gleichung:
>
> [mm]5=5*x^{0}+0*x^{1}+[/mm] \ ... \ + [mm]0*x^{n-1}[/mm] + [mm]0*x^{n}[/mm]
>
> ???
>
> 2.
> weil ich soll ja wie gesagt wurde schauen ob die 5
> darstellbar ist doch mit der obigen gleichung ist sie doch
> darstellbar?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:44 So 01.03.2009 | | Autor: | Yami |
Ich habe da noch eine frage zu dem thema erzeugendensystem, dachte ich greife das thema noch mal auf um nichtnochmal ne neue Diskussion zu starten.
------ habe da was vergessen-------
Ich habe die Menge S = span{ $ [mm] \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} [/mm] $ }
mit : [mm] \vec{v_1} [/mm] = [mm] cos(x)^2
[/mm]
[mm] \vec{v_2} [/mm] = [mm] sin(x)^2
[/mm]
[mm] \vec{v_3} [/mm] = cos(2*x)
das ist nen EZS und ich sollte zeigen das es keine Bass ist habe ich auch getann und das ist kein problem gewessen.
Doch ich wollte mal selber gucke ob ich es hinkriege zu testen ob es ein EZS ist, doch die trigonometrischen funktionen irritieren mich ein wenig....
ich muss ja zeigen [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_i [/mm] * [mm] \vec{v_1}
[/mm]
wenn ich das nun überführe sieht mann ja dann
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \alpha_1 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \alpha_3 [/mm] * cos(2*x)
ist es damit schon beiwesen? weil die definition ist ja erfüllt.
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> Ich habe da noch eine frage zu dem thema erzeugendensystem,
> dachte ich greife das thema noch mal auf um nichtnochmal ne
> neue Diskussion zu starten.
>
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> Ich habe die Menge S [mm] =\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}
[/mm]
>
> mit : [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_3}[/mm] = cos(2*x)
>
> das ist nen EZS
Hallo,
zu "Erzeugendensystem" gehört die Angabe wovon es das Erzeugendensystem sein soll.
Wovon also?
Gruß v. Angela
> und ich sollte zeigen das es keine Bass ist
> habe ich auch getann und das ist kein problem gewessen.
>
> Doch ich wollte mal selber gucke ob ich es hinkriege zu
> testen ob es ein EZS ist, doch die trigonometrischen
> funktionen irritieren mich ein wenig....
>
> ich muss ja zeigen [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_i[/mm] *
> [mm]\vec{v_1}[/mm]
>
> wenn ich das nun überführe sieht mann ja dann
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\alpha_1[/mm] * [mm]cos(x)^2[/mm] + [mm]\alpha_2[/mm] * [mm]sin(x)^2[/mm] +
> [mm]\alpha_3[/mm] * cos(2*x)
>
> ist es damit schon beiwesen? weil die definition ist ja
> erfüllt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 01.03.2009 | | Autor: | Yami |
Ich habe da noch eine frage zu dem thema erzeugendensystem, dachte ich greife das thema noch mal auf um nichtnochmal ne neue Diskussion zu starten.
------ habe da was vergessen-------
Ich habe die Menge S = span{ [mm] \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} [/mm] }
mit : $ [mm] \vec{v_1} [/mm] $ = $ [mm] cos(x)^2 [/mm] $
$ [mm] \vec{v_2} [/mm] $ = $ [mm] sin(x)^2 [/mm] $
$ [mm] \vec{v_3} [/mm] $ = cos(2*x)
das ist nen EZS und ich sollte zeigen das es keine Bass ist habe ich auch getann und das ist kein problem gewessen.
Doch ich wollte mal selber gucke ob ich es hinkriege zu testen ob es ein EZS ist, doch die trigonometrischen funktionen irritieren mich ein wenig....
ich muss ja zeigen $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_i [/mm] $ * $ [mm] \vec{v_1} [/mm] $
wenn ich das nun überführe sieht mann ja dann
$ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \alpha_1 [/mm] $ * $ [mm] cos(x)^2 [/mm] $ + $ [mm] \alpha_2 [/mm] $ * $ [mm] sin(x)^2 [/mm] $ + $ [mm] \alpha_3 [/mm] $ * cos(2*x)
ist es damit schon beiwesen? weil die definition ist ja erfüllt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ------ habe da was vergessen-------
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> Ich habe die Menge S = span{ [mm]\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> mit : [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_3}[/mm] = cos(2*x)
>
> das ist nen EZS und ich sollte zeigen das es keine Bass ist
> habe ich auch getann und das ist kein problem gewessen.
>
> Doch ich wollte mal selber gucke ob ich es hinkriege zu
> testen ob es ein EZS ist,
Hallo,
dafür ist nichts zu zeigen, denn der span ist ja per definitionem gerade die Menge, die alle Linearkombinationen dieser Vektoren enthält.
Mancherorten sagt man zu [mm] "span(v_1, v_2, v_3)" [/mm] auch "die von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] erzeugte Menge".
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 01.03.2009 | | Autor: | Yami |
achso ist das denn aber auch richtig wenn ich das so behaupte:
$ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_i [/mm] $ * $ [mm] \vec{v_1} [/mm] $
das muss ich ja zeigen
wenn ich nun die trigonometrischen funktionen einsetze
$ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \alpha_1 [/mm] $ * $ [mm] cos(x)^2 [/mm] $ + $ [mm] \alpha_2 [/mm] $ * $ [mm] sin(x)^2 [/mm] $ + $ [mm] \alpha_3 [/mm] $ * cos(2*x)
wäre es denn damit auch getann? weil die definition ist ja erfüllt.
Weil zu der aufgabe stand noch dazu ich soll wenn ich gezeigt habe das es keine basis ist eine basis finden, doch dafür muss ich doch eine andere menge definieren die dann ein EZS ist oder?
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> achso ist das denn aber auch richtig wenn ich das so
> behaupte:
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> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_i[/mm] * [mm]\vec{v_1}[/mm]
> das muss ich ja zeigen
>
> wenn ich nun die trigonometrischen funktionen einsetze
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\alpha_1[/mm] * [mm]cos(x)^2[/mm] + [mm]\alpha_2[/mm] * [mm]sin(x)^2[/mm] +
> [mm]\alpha_3[/mm] * cos(2*x)
>
> wäre es denn damit auch getann? weil die definition ist ja
> erfüllt.
Hallo,
was Du schreibst, ist nicht verkehrt, aber völlig überflüssig.
Es ist ungefähr so, als würde man schreiben: der runde Kreis ist rund.
>
> Weil zu der aufgabe stand noch dazu ich soll wenn ich
> gezeigt habe das es keine basis ist eine basis finden, doch
> dafür muss ich doch eine andere menge definieren die dann
> ein EZS ist oder?
Nein. Du weißt, daß Deine drei Vektoren ein Erzeugendensystem bilden.
Du solltest wissen, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält.
Du mußt nun also zwei Deiner drei Vektoren so aussuchen, daß die beiden linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 So 01.03.2009 | | Autor: | Yami |
>
> Nein. Du weißt, daß Deine drei Vektoren ein
> Erzeugendensystem bilden.
> Du solltest wissen, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis
> enthält.
>
> Du mußt nun also zwei Deiner drei Vektoren so aussuchen,
> daß die beiden linear unabhängig sind.
>
> Gruß v. Angela
>
das heißt durch das span{} weiß ich das meine drei vektoren ein EZS sind.... würde da kein span{} stehen müßte ich es beweisen.....
jetzt muss ich für zwei der Vektoren der drei was passendes finden, die linear unabhängig sind, muss ich nicht noch zusätzlich darauf achten ob die beiden vektoren die ich ausuche mit dem dritten vektor ein EZS sind oder?
weil dann könnte ich ja follgendes aussuchen für:
[mm] span{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}}
[/mm]
[mm] \vec{v_1} [/mm] = [mm] cos(x)^2 [/mm] //denn lasse ich
[mm] \vec{v_2} [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
[mm] \vec{v_3} [/mm] = x
die letzten habe ich frei gewählt und die sind auch linear unabhängig sowie bilden alle drei zusammen ein EZS, ist doch richtig?
und alle drei sind auch linear unabhängig, also müßte das eine Basis sein, stimmts?
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> >
> > Nein. Du weißt, daß Deine drei Vektoren ein
> > Erzeugendensystem bilden.
> > Du solltest wissen, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis
> > enthält.
> >
> > Du mußt nun also zwei Deiner drei Vektoren so aussuchen,
> > daß die beiden linear unabhängig sind.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> das heißt durch das span{} weiß ich das meine drei vektoren
> ein EZS sind.... würde da kein span{} stehen müßte ich es
> beweisen.....
Hallo,
dann müßte eine menge angegeben sien, und Du müßtest zeigen, daß die Vektoren [mm] \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 [/mm] diese erzeugen.
>
> jetzt muss ich für zwei der Vektoren der drei was passendes
> finden, die linear unabhängig sind, muss ich nicht noch
> zusätzlich darauf achten ob die beiden vektoren die ich
> ausuche mit dem dritten vektor ein EZS sind oder?
Wenn Du Vektoren von "außerhalb" nimmst, mußt Du natürlich darauf achten, und bei den von Dir gewählten Vektoren bin ich ganz skeptisch: erzeugen die wirklich Deine Menge?
Aber Du kannst zwei linear unabhängige vektoren aus S =\ { [mm] \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \} [/mm] aussuchen, welche dann automatisch eine Basis sind.
Gruß v. Angela
>
> weil dann könnte ich ja follgendes aussuchen für:
>
> [mm]span{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}}[/mm]
>
> [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm] //denn lasse ich
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> [mm]\vec{v_3}[/mm] = x
>
> die letzten habe ich frei gewählt und die sind auch linear
> unabhängig sowie bilden alle drei zusammen ein EZS, ist
> doch richtig?
>
> und alle drei sind auch linear unabhängig, also müßte das
> eine Basis sein, stimmts?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 01.03.2009 | | Autor: | Yami |
> > >
> > > Nein. Du weißt, daß Deine drei Vektoren ein
> > > Erzeugendensystem bilden.
> > > Du solltest wissen, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis
> > > enthält.
> > >
> > > Du mußt nun also zwei Deiner drei Vektoren so aussuchen,
> > > daß die beiden linear unabhängig sind.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> >
> > das heißt durch das span{} weiß ich das meine drei vektoren
> > ein EZS sind.... würde da kein span{} stehen müßte ich es
> > beweisen.....
>
> Hallo,
>
> dann müßte eine menge angegeben sien, und Du müßtest
> zeigen, daß die Vektoren [mm]\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> diese erzeugen.
>
> >
> > jetzt muss ich für zwei der Vektoren der drei was passendes
> > finden, die linear unabhängig sind, muss ich nicht noch
> > zusätzlich darauf achten ob die beiden vektoren die ich
> > ausuche mit dem dritten vektor ein EZS sind oder?
>
> Wenn Du Vektoren von "außerhalb" nimmst, mußt Du natürlich
> darauf achten, und bei den von Dir gewählten Vektoren bin
> ich ganz skeptisch: erzeugen die wirklich Deine Menge?
>
> Aber Du kannst zwei linear unabhängige vektoren aus S =\ {
> [mm]\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \}[/mm] aussuchen, welche dann
> automatisch eine Basis sind.
>
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > weil dann könnte ich ja follgendes aussuchen für:
> >
> > [mm]span{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}}[/mm]
> >
> > [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm] //denn lasse ich
> > [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> > [mm]\vec{v_3}[/mm] = x
> >
> > die letzten habe ich frei gewählt und die sind auch linear
> > unabhängig sowie bilden alle drei zusammen ein EZS, ist
> > doch richtig?
> >
> > und alle drei sind auch linear unabhängig, also müßte das
> > eine Basis sein, stimmts?
>
aber meine menge
[mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
[mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]x^2[/mm]
[mm]\vec{v_3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= x
läßt sich doch als \summe_{i=1}^{n} \alpha_i * \vec{v_i} , schreiben
und zum testen:
\alpha_1 * cos(x)^2 + \alpha_2 * x^2 + \alpha_3 * x = 1
für x = 0
haben wird dann \alpha_1 = 1 und \alpha_2 = 0 und \alpha_3 = 0
das wäre dann doch richtig?
> Aber Du kannst zwei linear unabhängige vektoren aus S =\ {
> [mm]\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \}[/mm] aussuchen, welche dann
> automatisch eine Basis sind.
meinst du damit das ich 2 vektoren aus der menge:
[mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
[mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
[mm]\vec{v_3}[/mm] = cos(2*x)
nehmen kann?
ich habe das mal mit
[mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
[mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
versucht die sind aber auch nicht linear unabhängig...?
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> aber meine menge
>
> [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> [mm]\vec{v_3}[/mm]=x
Hallo,
Du möchtest doch eine Basis von [mm] span
Die von Dir angegebene Menge ist kein Erzeugendensystem, denn Du kannst z.B.
[mm] sin^2(x) [/mm] nicht damit erzeugen.
Sonst gäbe es Koeffizienten a,b,c mit
[mm] sin^2(x)= [/mm] a*cos^(x) [mm] +b*x^2+ [/mm] c*x für alle x
> > Aber Du kannst zwei linear unabhängige vektoren aus S [mm] =\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \}aussuchen, [/mm] welche dann
> > automatisch eine Basis sind.
>
> meinst du damit das ich 2 vektoren aus der menge:
>
> [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_3}[/mm] = cos(2*x)
>
> nehmen kann?
>
> ich habe das mal mit
>
> [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
>
> versucht die sind aber auch nicht linear unabhängig...?
Wieso nicht?
Was hast Du gerechnet?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 01.03.2009 | | Autor: | Yami |
> > aber meine menge
> >
> > [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> > [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> > [mm]\vec{v_3}[/mm]=x
>
> Hallo,
>
> Du möchtest doch eine Basis von [mm]span
> cos(2x)> finden.
>
> Die von Dir angegebene Menge ist kein Erzeugendensystem,
> denn Du kannst z.B.
>
> [mm]sin^2(x)[/mm] nicht damit erzeugen.
>
> Sonst gäbe es Koeffizienten a,b,c mit
>
> [mm]sin^2(x)=[/mm] a*cos^(x) [mm]+b*x^2+[/mm] c*x für alle x
>
hmm.... ich versuche es wirklich zu verstehen sehe das aber nicht so glaube ich wie du... woran erkennst du das?
wenn ich das nehme kann ich ja z.B.: durch
[mm] sin^2(x)= a*cos(x)^2 [/mm] + [mm] b*sin(x)^2 [/mm] + c*cos(2*x) für alle x
hier erkenne ich das wenn ich a = 0, c = 0 und b = 1 wähle das ich so [mm] sin(x)^2 [/mm] erzeugen kann.. richtig?
>
> > > Aber Du kannst zwei linear unabhängige vektoren aus S
> [mm]=\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \}aussuchen,[/mm] welche dann
> > > automatisch eine Basis sind.
> >
> > meinst du damit das ich 2 vektoren aus der menge:
> >
> > [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> > [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
> > [mm]\vec{v_3}[/mm] = cos(2*x)
> >
> > nehmen kann?
> >
> > ich habe das mal mit
> >
> > [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> > [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
> >
> > versucht die sind aber auch nicht linear unabhängig...?
>
> Wieso nicht?
>
> Was hast Du gerechnet?
>
> Gruß v. Angela
>
also bei mir stand am ende:
[mm] \alpha_1 [/mm] = - [mm] \alpha_2
[/mm]
was hast du raus bekommen?
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> > Die von Dir angegebene Menge ist kein Erzeugendensystem,
> > denn Du kannst z.B.
> >
> > [mm]sin^2(x)[/mm] nicht damit erzeugen.
> >
> > Sonst gäbe es Koeffizienten a,b,c mit
> >
> > [mm]sin^2(x)=[/mm] a*cos^(x) [mm]+b*x^2+[/mm] c*x für alle x
> >
>
> hmm.... ich versuche es wirklich zu verstehen sehe das aber
> nicht so glaube ich wie du... woran erkennst du das?
Hallo,
es geht hier doch um die Gleichheit vo nFunktionen, und Funktionen sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen Stellen übereinstimmen.
>
> wenn ich das nehme kann ich ja z.B.: durch
>
> [mm]sin^2(x)= a*cos(x)^2[/mm] + [mm]b*sin(x)^2[/mm] + c*cos(2*x) für alle
> x
>
> hier erkenne ich das wenn ich a = 0, c = 0 und b = 1 wähle
> das ich so [mm]sin(x)^2[/mm] erzeugen kann.. richtig?
Ja.
> > > [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> > > [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
> > >
> > > versucht die sind aber auch nicht linear unabhängig...?
> >
> > Wieso nicht?
> >
> > Was hast Du gerechnet?
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> also bei mir stand am ende:
Der Anfang und das Zwischendrin interessieren mich auch. Nur mit dem Ende sehe ich nichts.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\alpha_1[/mm] = - [mm]\alpha_2[/mm]
>
> was hast du raus bekommen?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 01.03.2009 | | Autor: | Yami |
Zu rechnung
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] = 0
erste ableitung:
[mm] \lambda_1 [/mm] * (2* sin(x) * cos(x)) - [mm] \lambda_2 [/mm] * (2 * sin(x) * cos(x)) = 0
2 * sin(x) * cos(x) * [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_2) [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2
[/mm]
das war meine rechung....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 So 01.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kommst du auf die Ableitungen? Die haben mit dem problem nichts zu tun.
[mm] a*sin^2(x)+b*cos^2x=0 [/mm] kann man nie fuer alle x erfuellen.
nimm an es ist erfuellt fuer x= 0 das ist einfach, a beliebig, b=0
jetzt nimm [mm] x=\pi/2 [/mm] was kriegst du raus?
dagegen gilt fuer ALLE x [mm] cos^2(x)-sin^2(x)=cos2x [/mm] die sind also lin. abhaengig.
jetzt kannst du 2 davon aussuchen, und zeigen, dass sie lin. unabhaengig sind. die bilsen dann eine Basis deines S.
Irgendwie ist dir das mit Erzeugenden System (darin koennen ne ganze Menge ueberfluessige Vektoren sein, und Basis, Nur so viele wie der dim des Raumes entspricht. und dein S hat nun mal die Dimension 2.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 So 01.03.2009 | | Autor: | Yami |
> Hallo
> Wie kommst du auf die Ableitungen? Die haben mit dem
> problem nichts zu tun.
> [mm]a*sin^2(x)+b*cos^2x=0[/mm] kann man nie fuer alle x erfuellen.
> nimm an es ist erfuellt fuer x= 0 das ist einfach, a
> beliebig, b=0
> jetzt nimm [mm]x=\pi/2[/mm] was kriegst du raus?
ok das verstehe ich hier ist es immer nur für ein x erfüllt nicht für alle
aber dennoch handelt es sich hierbei [mm] a*sin^2(x)+b*cos^2x [/mm] um ein EZS
> dagegen gilt fuer ALLE x [mm]cos^2(x)-sin^2(x)=cos2x[/mm] die sind
> also lin. abhaengig.
müßte das nicht so aussehen:
a [mm] *cos^2(x) [/mm] + [mm] b*sin^2(x)=cos2x
[/mm]
???
> jetzt kannst du 2 davon aussuchen, und zeigen, dass sie
> lin. unabhaengig sind. die bilsen dann eine Basis deines
> S.
ich muss ja zeigen das a und b = 0 sind
und das habe ich versucht mithilfe der ableitung zu zeigen... hatten wir mal in der vorlesung gehabt
> Irgendwie ist dir das mit Erzeugenden System (darin
> koennen ne ganze Menge ueberfluessige Vektoren sein, und
> Basis, Nur so viele wie der dim des Raumes entspricht. und
> dein S hat nun mal die Dimension 2.
> Gruss leduart
Also ich verstehe schon das ein EZS halt eine Menge ist die ein belibigen Vektor durch die Linearkombination darstellen kann und zwar für belibige folgen von koeffizienten bei einer basis gibt es nur eine eindeutige flge von koeffizienten..... so habe ich das von meinem prof verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > [mm]a*sin^2(x)+b*cos^2x=0[/mm] kann man nie fuer alle x
> erfuellen.
> > nimm an es ist erfuellt fuer x= 0 das ist einfach, a
> > beliebig, b=0
> > jetzt nimm [mm]x=\pi/2[/mm] was kriegst du raus?
>
> ok das verstehe ich hier ist es immer nur für ein x erfüllt
> nicht für alle
>
> aber dennoch handelt es sich hierbei [mm]a*sin^2(x)+b*cos^2x[/mm] um
> ein EZS
Was meinst du mit hierbei? doch nicht diese Linearkombination?
Ein EZS besteht aus einer Ansammlung von elementen des VR.
> > dagegen gilt fuer ALLE x [mm]cos^2(x)-sin^2(x)=cos2x[/mm] die sind
> > also lin. abhaengig.
> müßte das nicht so aussehen:
>
> a [mm]*cos^2(x)[/mm] + [mm]b*sin^2(x)=cos2x[/mm]
warum, ich hab dir ein a und ein b angegeben, die zeigen dass die 3 nicht lin unabh, sind.
> > jetzt kannst du 2 davon aussuchen, und zeigen, dass sie
> > lin. unabhaengig sind. die bilden dann eine Basis deines
> > S.
>
> ich muss ja zeigen das a und b = 0 sind
> und das habe ich versucht mithilfe der ableitung zu
> zeigen... hatten wir mal in der vorlesung gehabt
ich hab dir oben gezeigt, wie du das zeigen kannst. bestimme a und b fuer ein x, und zeige ,dass es dann fuer ein anderes nicht gilt, also gibts kein a,b fuer alle x.
> > Irgendwie ist dir das mit Erzeugenden System (darin
> > koennen ne ganze Menge ueberfluessige Vektoren sein, und
> > Basis, Nur so viele wie der dim des Raumes entspricht. und
> > dein S hat nun mal die Dimension 2.
> > Gruss leduart
>
> Also ich verstehe schon das ein EZS halt eine Menge ist die
> ein belibigen Vektor durch die Linearkombination darstellen
> kann und zwar für belibige folgen von koeffizienten bei
Das ist Unsinn. doch nicht eine beliebige Folge.
> einer basis gibt es nur eine eindeutige flge von
> koeffizienten..... so habe ich das von meinem prof
> verstanden.
Wenn du einen bestimmten Vektor deines VR durch die Basisvektoren darstellst ist das eindeutig.
Bei dem EZS kann, muss es aber nicht eindeutig sein. eine basis ist auch ein EZS!
Inzwischen ist soviel hin und her gegangen, dass du nochmal geschlossen aufschreiben solltest was du jetzt hast, und wie du es jeweils gezeigt hast.
gruss leduart
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Yami |
Hi, ja du hast recht hier war jetzt soviel das ich da auch nicht mehr so ganz durchblicke....
Also das ursprüngliche Problem war:
Ich habe die Menge S = [mm] span{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}}
[/mm]
mit :
[mm] \vec{v_1} [/mm] = [mm] cos(x)^2
[/mm]
[mm] \vec{v_2} [/mm] = [mm] sin(x)^2
[/mm]
[mm] \vec{v_3} [/mm] = cos(2*x)
das ist nen EZS und ich sollte zeigen das es keine Basis ist.
das habe ich indem ich gezeigt habe das die Vektoren linear unabhängig sind:
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * cos(2*x) = [mm] \vec{0}
[/mm]
für [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
das habe ich auch und damit bewiesen das es sich hierbei um keine Basis handelt nur um ein EZS.
So hierbei traten nun die ersten Verständnis fragen auf:
mein EZS ist ja die Menge
S:= [mm] {\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}}
[/mm]
mit
[mm] \vec{v_1} [/mm] = [mm] cos(x)^2
[/mm]
[mm] \vec{v_2} [/mm] = [mm] sin(x)^2
[/mm]
[mm] \vec{v_3} [/mm] = cos(2*x)
da es ein EZS ist kann ich ja ein belibigen Vektor aus der Menge wählen und in als Linearkombination der menge darstellen.
Also:
[mm] \vec{x} \in [/mm] S
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i [/mm] * [mm] \vec{v_i}
[/mm]
z.B.:
sei [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] sin(x)^2 [/mm] , denn [mm] sin(x)^2 \in [/mm] S
[mm] sin(x)^2 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * cos(2*x)
und hier sehe ich es ja denn für [mm] \lambda_1 [/mm] = 0, [mm] \lambda_2 [/mm] = 1, [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
wäre dies der fall gleichzeitig sehen ich auch das es linear abhängig ist.
auch ohne diesen beweis sehe ich ja allein durch die definition:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i [/mm] * [mm] \vec{v_i}
[/mm]
das es sich hier um ein EZS handelt.
nun zur Basis dabei handelt es sich um eine Menge die EZS und linear unabhängig ist.
mit eindeutig ist jetzt gemeint das ich ein Vektor aus meiner Menge mit den Vektoren aus der Menge dartsellen kann für die jedoch gilt das es nur eine kombination con koeffizienten gibt.
So habe das mal jetzt alles zusammengetragen, ich denke das das jetzt auch richtig sein muss.
Nun ging die Aufgabe weiter indem ich eine Basis finden sollte:
hier wurde mir nun gesagt das ich einfach aus meiner Menge S zwei Vektoren finden soll die linear unabhängig sind, wenn ich diese gefunden habe soll das dann meine Basis für die Menge S sein und das habe ich zuletzt versucht.
doch irgendwie blickte ich dann nicht mehr so durch...
was ich verstehe ist das ich eine menge von vektoren habe und aus dieser menge kann ich eine basis bilden jeoch ob die menge der basisvektoren aus allen drei oder nur aus zwei besteht hängt halt davon ab ob dann diese vektoren linear unabhängig sind?
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> Also das ursprüngliche Problem war:
>
> Ich habe die Menge S [mm] =span\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}[
[/mm]
>
> mit :
> [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_3}[/mm] = cos(2*x)
>
> das ist nen EZS und ich sollte zeigen das es keine Basis
> ist.
Hallo,
also nicht linear unabhängig.
>
> das habe ich indem ich gezeigt habe das die Vektoren linear
> unabhängig sind:
Mach keine Scherze! Du mußt zeigen, daß sie nicht linear unabhängig sind.
>
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]cos(x)^2[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]sin(x)^2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] *
> cos(2*x) = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> für [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
Wenn Dir das gelungen wäre (wie eigentlich?) hättest Du doch die lineare Unabhängigkeit der drei gezeigt!
Dann wären sie eine Basis. Sind se aber nicht, was bedeutet, daß beim rechnen irgendwas ganz furchtbar schiefgegangen ist.
>
> das habe ich auch und damit bewiesen das es sich hierbei um
> keine Basis handelt nur um ein EZS.
Nein. Damit hättest Du bewiesen, daß es eine Basis ist. (Aber Du hast ja falsch gerechnet.)
>
> So hierbei traten nun die ersten Verständnis fragen auf:
>
> mein EZS ist ja die Menge
>
> S:= [mm]{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}}[/mm]
Ja.
>
> mit
>
> [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]cos(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm]
> [mm]\vec{v_3}[/mm] = cos(2*x)
Ja.
>
> da es ein EZS ist kann ich ja ein belibigen Vektor aus der
> Menge wählen und in als Linearkombination der menge
> darstellen.
Ja, einmal der betreffende Vektor plus nullmal die anderen.
>
> Also:
>
> [mm]\vec{x} \in[/mm] S
Moment.
Du mußt jetzt mal gründlich unterscheiden zwischen der Menge S, die aus drei Vektoren besteht, und der von diesen Vektoren erzeugten Menge, dem Span von S.
S enthält drei vektoren, der span sämtliche Vektoren, die man als Linearkombination aus diesen schreiben kann.
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i[/mm] * [mm]\vec{v_i}[/mm]
So sehen die Vektoren des Spans aus. n muß natürlich =3 sein.
>
> z.B.:
>
> sei [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]sin(x)^2[/mm] , denn [mm]sin(x)^2 \in[/mm] S
>
> [mm]sin(x)^2[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]cos(x)^2[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]sin(x)^2[/mm] +
> [mm]\lambda_3[/mm] * cos(2*x)
Ja, das haut einen aber wirklich nicht so vom Hocker...
>
> und hier sehe ich es ja
was?
> denn für [mm]\lambda_1[/mm] = 0, [mm]\lambda_2[/mm] =
> 1, [mm]\lambda_3[/mm] = 0
> wäre dies der fall gleichzeitig sehen ich auch das es
> linear abhängig ist.
Du siehst hier, daß [mm] sin^x [/mm] von (cos^2x, sin^2x, cos(2x)) linear abhängig ist. Dafür braucht man doch nichts zu rechnen - aber es schadet nicht.
>
> auch ohne diesen beweis sehe ich ja allein durch die
> definition:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i[/mm] * [mm]\vec{v_i}[/mm]
>
> das es sich hier um ein EZS handelt.
Dein "Beweis" hat damit nicht die Bohne was zu tun.
Aber Du hast recht: allein aus der Definition des Spans ergibt sich, daß Deine drei Vektoren ein Erzeugendensystem sind.
>
>
> nun zur Basis dabei handelt es sich um eine Menge die EZS
> und linear unabhängig ist.
Richtig.
>
> mit eindeutig ist jetzt gemeint das ich ein Vektor aus
> meiner Menge mit den Vektoren aus der Menge dartsellen kann
> für die jedoch gilt das es nur eine kombination con
> koeffizienten gibt.
Ja. Du kannst jeden Vektor darstellen, und zwar nur auf eine Art und Weise.
>
> So habe das mal jetzt alles zusammengetragen, ich denke das
> das jetzt auch richtig sein muss.
Du mußt nochmal ganz gut über S und über die von den drei Vektoren erzeugte Menge nachdenken, ebenso wie über das Wirrwarr am Anfang des Posts.
>
> Nun ging die Aufgabe weiter indem ich eine Basis finden
> sollte:
>
> hier wurde mir nun gesagt das ich einfach aus meiner Menge
> S zwei Vektoren finden soll die linear unabhängig sind,
> wenn ich diese gefunden habe soll das dann meine Basis für
> die Menge S sein
Ja. Da man, wenn man's richtig macht, zeigen kann, daß S linear abhängig ist, ist die Dimension des Spans <3.
Wenn man zwei linear unabhängige Vektoren aus S gefunden hat, hat man damit automatisch eine Basis.
Gruß v. Angela
> und das habe ich zuletzt versucht.
>
> doch irgendwie blickte ich dann nicht mehr so durch...
>
> was ich verstehe ist das ich eine menge von vektoren habe
> und aus dieser menge kann ich eine basis bilden jeoch ob
> die menge der basisvektoren aus allen drei oder nur aus
> zwei besteht hängt halt davon ab ob dann diese vektoren
> linear unabhängig sind?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Vuffi-Raa |
> > [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]cos(x)^2[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]sin(x)^2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] *
> > cos(2*x) = [mm]\vec{0}[/mm]
> >
> > für [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
>
> Wenn Dir das gelungen wäre (wie eigentlich?) hättest Du
> doch die lineare Unabhängigkeit der drei gezeigt!
Kleine Anmerkung dazu:
Für [mm]\lambda_1 = \lambda_2= \lambda_3 = 0 [/mm] gilt die Gleichung [mm]\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 + \lambda_3 * v_3 = \vec{0}[/mm] immer, ganz egal, ob die Vektoren nun linear abhängig sind oder nicht. Entscheidend ist dagegen, dass aus der Gleichung folgt, dass [mm]\lambda_1 = \lambda_2= \lambda_3 = 0 [/mm].
Allerdings hat man dann eben - wie Angela schon sagte - nicht die lineare Abhängigkeit, sondern die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Yami |
Soooooooo
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vec{v_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vec{v_2} [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \vec{v_3} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * cos(2*x) = [mm] \vec{0}
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * cos(2*x) = 0
erste Ableitung:
[mm] -\lambda_1 [/mm] * (2*sin(x)*cos(x)) + [mm] \lambda_2 [/mm] * (2*sin(x)*cos(x)) - [mm] \lambda_3 [/mm] * (4*sin(x)*cos(x)) = 0
=
sin(2*x) * [mm] (-\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] 2*\lambda_3) [/mm] = 0
[mm] -\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] 2*\lambda_3 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 +2*\lambda_3 [/mm] = [mm] \lambda_2
[/mm]
z.B.:
[mm] \lambda_1 [/mm] = -1
[mm] \lambda_2 [/mm] = 1
[mm] \lambda_3 [/mm] = 1
so das wäre gezeigt nun sollte ich ja zwei vektoren nehmen:
bei
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] = 0
für mich ist es aber linear abhängig denn:
in der vorlesung wurde mal eine aufgabe wie folgt gelöst:
zu zeigen lineare unabhängigkeit für f,g,h mit
f(x) = e^(2*x)
g(x) = [mm] x^2
[/mm]
h(x) = x
[mm] \lambda_1 [/mm] * e^(2*x) + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * x = 0
für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
für x = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
für x = 1
[mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
für = -1
[mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
daraus folgt [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
wenn ich das nun für [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] mache
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] = 0
für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
für x = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] = 0
für x = [mm] \pi/2
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
daraus folgt [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du nochmal selbst formulieren, wann 2 Vektoren linear unabh. sind?
Dann hast du naemlich eben bewiesen dass sin^2x und [mm] cos^2 [/mm] x lin unabh. sind !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Yami |
zwei Vektoren sind linear unabhängig wenn follgendes gilt:
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vec{v_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vec{v_2} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
mit [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
ist doch richtig?
also ist
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] sin(x)^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] cos(x)^2 [/mm] = 0
linear unabhängig, richtig?
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> zwei Vektoren sind linear unabhängig wenn follgendes gilt:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vec{v_1}[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> mit [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = 0
>
> ist doch richtig?
Hallo,
nicht ganz.
Sie sind linear abhängig, wenn aus [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vec{v_1}[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm] folgt,
daß [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = 0
>
> also ist
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]sin(x)^2[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]cos(x)^2[/mm] = 0
>
> linear unabhängig, richtig?
Du mußt auf Deine Formulierungen achten, sonst bringst Du Dich selbst durcheinander.
Aus [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]sin(x)^2[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]cos(x)^2[/mm] = 0 folgt: [mm] \lambda_1=\lambda_2=0,
[/mm]
also sind [mm] \sin^2x [/mm] und [mm] \cos^2x [/mm] linear unabhängig bzw.: also ist [mm] \{\sin^2x ,\cos^2x\} [/mm] linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Yami |
Achso ja habe das jetzt auch gemerkt das ich mich falsch ausdrücke..... tut mir leid, so wollte mich jetzt erstmal bedanken für die tolle hilfe, weil ich glaube jeder der das hier lesen würde erkennt den schweiß der dahinter steckt, also vielen vielen dank dafür.
Ihr seit aber noch nicht erlöst 
Da wäre nur noch eine frage machen wir es mal kurz und schmerzlos:
Aufgabe:
Sei [mm] {\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}} [/mm] eine Basis des Vektorraums V, und seien [mm] \vec{u_1} [/mm] = [mm] \vec{v_1}, \vec{u_2} [/mm] = [mm] \vec{v_1} [/mm] + [mm] \vec{v_2} [/mm] und [mm] \vec{u_3} [/mm] = [mm] \vec{v_1} [/mm] + [mm] \vec{v_2} [/mm] + [mm] \vec{v_3}.
[/mm]
Man zeige, daß [mm] {\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}} [/mm] eine Basis von V ist.
reicht es wenn ich das so zeige:
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vec{u_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vec{u_2} [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \vec{u_3} [/mm] = [mm] \vec{x}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vec{v_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * ( [mm] \vec{v_1} [/mm] + [mm] \vec{v_2}) [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] (\vec{v_1} [/mm] + [mm] \vec{v_2} [/mm] + [mm] \vec{v_3}) [/mm] = [mm] \vec{x}
[/mm]
[mm] \vec{v_1}*(\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] + [mm] \vec{v_2}*(\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] ) + [mm] \vec{v_3}* \lambda_3 [/mm] = [mm] \vec{x}
[/mm]
[mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] \alpha_3 [/mm] = [mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \alpha_3
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] - [mm] \alpha_3
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2 [/mm] - [mm] \alpha_3
[/mm]
somit
[mm] \alpha_1 [/mm] * [mm] \vec{v_1} [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] * [mm] \vec{v_2} [/mm] + [mm] \alpha_3* \vec{v_3} [/mm] = [mm] \vec{x}
[/mm]
ist es damit bewiesen?
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> Aufgabe:
> Sei [mm]{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}}[/mm] eine Basis des
> Vektorraums V, und seien [mm]\vec{u_1}[/mm] = [mm]\vec{v_1}, \vec{u_2}[/mm] =
> [mm]\vec{v_1}[/mm] + [mm]\vec{v_2}[/mm] und [mm]\vec{u_3}[/mm] = [mm]\vec{v_1}[/mm] + [mm]\vec{v_2}[/mm]
> + [mm]\vec{v_3}.[/mm]
> Man zeige, daß [mm]{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}}[/mm] eine
> Basis von V ist.
Hallo,
wenn [mm]{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}}[/mm] eine Basis ist, dann sind die drei vektoren linear unabhängig, dh. sobald eine Linearkombination von ihnen den Nullvektor ergibt, so sind die Koeffizienten =0.
Daraus, daß die gegebene Basis drei Vektoren enthält, weiß man, daß jede Basis drei Vektoren enthält. Insofern hat [mm]{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}}[/mm] schonmal Chancen.
Zu prüfen ist nun lediglich, ob diese Menge linear unabhängig ist, ob also aus
> reicht es wenn ich das so zeige:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vec{u_1}[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]\vec{u_2}[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]\vec{u_3}[/mm] [mm] =\red{\vec{0}} [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_i=0 [/mm] für i=1,2,3.
Sei also
[mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vec{u_1}[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]\vec{u_2}[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]\vec{u_3}[/mm] [mm] =\vec{0}
[/mm]
==>
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vec{v_1}[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * ( [mm]\vec{v_1}[/mm] + [mm]\vec{v_2})[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm](\vec{v_1}[/mm] + [mm]\vec{v_2}[/mm] + [mm]\vec{v_3})[/mm] [mm] =\red{\vec{0}}
[/mm]
==>
>
> [mm]\vec{v_1}*(\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3)[/mm] + [mm]\vec{v_2}*(\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] ) + [mm]\vec{v_3}* \lambda_3[/mm] = [mm] \red{\vec{0}}
[/mm]
Weil nun die [mm] \vec{v_i} [/mm] linear unabhängig sind, folgt
> [mm]0[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm]
> [mm]0[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm]
> [mm]0[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\lambda_3[/mm] = [mm]0[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] =0
> [mm]\lambda_1[/mm] =0
>
> somit
ist [mm]{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}}[/mm] linear unabhängig.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\alpha_1[/mm] * [mm]\vec{v_1}[/mm] + [mm]\alpha_2[/mm] * [mm]\vec{v_2}[/mm] + [mm]\alpha_3* \vec{v_3}[/mm]
> = [mm]\vec{x}[/mm]
>
> ist es damit bewiesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab mir das mit deinen Ableitungen nch mal ueberlegt.
Hier ist das so falsch.
Ableitung ist eine lineare Abbildung.
indem du also die Ableitung deines Ausdrucks bildest, hast du eine lineare Abbildung.
Wenn die Bildvektoren , hier also die Ableitungen, linear abhaengig sind, muessen das die Urbilder nicht sein (koennen natuerlich aber muessen nicht) du kannst also aus der lin. Abhaengigkeit der abgeleiteten fkt. NICHT auf die lin Abh. der fkt schliessen.
Andererseit koenntest du aus der linearen Unabh. der Bildvektoren auf die lin. Unabh. der Urbilder schliessen.
(das hat dein Prof gemacht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Yami |
achso, ok danke für den nachtrag
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