Aufgabe zum Summenzeichen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 21.02.2006 | | Autor: | Julia_1 |
| Aufgabe | 3. Berechnen Sie möglichst einfach:
a) [mm] \summe_{i=1}^{30} [/mm] (8 - 6i) |
Hallo.
Das man o. g. Aufgabe so:
(8 - [mm] 6\*1) [/mm] + (8 - [mm] 6\*2) [/mm] + (8 - [mm] 6\*3) [/mm] + (8 - [mm] 6\*4) [/mm] + ... + (8 - [mm] 6\*30)
[/mm]
lösen kann, weiß ich. Aber wie kann man die Aufgabe "möglichst einfach" lösen, ohne die ganzen einzelnen Summanden von i=1 bis i=30 aufzuschreiben?
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Hallo Julia.
Also ich würde das so machen:
[mm] \summe_{i=1}^{30}{(8-6*i)}=\summe_{i=1}^{30}{8}-\summe_{i=1}^{30}{6*i}=
[/mm]
[mm] =8*30-6*\summe_{i=1}^{30}{i}=8*30-(1+30)*15=-225!!
[/mm]
Die letzte Summe ist eine arithmetische Summe bzw.Reihe
mfg daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 21.02.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Julia,
Hallo Daniel,
das Ergebnis muss lauten -2550, es wurde hier der Faktor 6 verschluckt!
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Di 21.02.2006 | | Autor: | Julia_1 |
Bitte für dumme Leute wie mich ein bißchen ausführlicher.
Wieso (1+30): Warum muss man 1 dazu addieren?
[mm] \*15 [/mm] : Wo kommt der Faktor 15 her?
Faktor 6 : Was muss ich noch mit 6 mal nehmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 21.02.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Julia,
> Bitte für dumme Leute wie mich ein bißchen ausführlicher.
na
> Wieso (1+30): Warum muss man 1 dazu addieren?
> [mm]\*15[/mm] : Wo kommt der Faktor 15 her?
> Faktor 6 : Was muss ich noch mit 6 mal nehmen?
Der Herr Gauß rechnete, so sagt man, die Summe der ersten 100 Zahlen nach der Formel [mm] \bruch{\red{n}*(\red{n}+1)}{2}
[/mm]
Jetzt zu deiner Aufgabe:
8*30 dürfte klar sein, oder?
es bleibt:
[mm] -6*1-6*2-6*3-....-6*30=-6*(1+2+3+...+\red{30})=-6*\bruch{\red{30}*(\red{30}+1)}{2}=-6*\bruch{30}{2}*31=-6*15*31=-2790
[/mm]
ich hab hier die Summe der ersten 30 Zahlen durch die Formel ersetzt
wenn du das mit den 8*30=240 verrechnest, dann erhältst du -2550 als Ergebnis.
verständlich?
wenn nicht, dann frag nochmal nach 
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Di 21.02.2006 | | Autor: | Herby |
... es ist
[mm] \summe_{i=1}^{n}i=\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] gilt für alle [mm] n\in\IN [/mm] und kann mit Induktion bewiesen werden.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 21.02.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo [mm]\texttt{Julia\_1}[/mm],
Auch wenn man es im Internet bestimmt irgendwo nachlesen kann, wollte ich nochmal bemerken, daß man diese einfache Summenformel auch ohne Induktion direkt herleiten kann (Bei den Summenformeln für höhere Potenzen ist das wohl nicht mehr so einfach; Induktion ist dann dein Freund).
Angenommen wir wüßten für jedes [mm]n[/mm] der Summe
[mm]\sum_{i=1}^n{i}[/mm]
welcher Wert [mm]k[/mm] für diese Summe rauskommen müßte. Dann gilt doch:
[mm]\sum_{i=1}^n{i} = k[/mm]
Und wenn wir nun auf beiden Seiten mit 2 multiplizieren, ändert sich doch auch nichts, oder?
[mm]2\sum_{i=1}^n{i} = 2k[/mm]
Aber schreiben wir die Summe doch mal aus:
[mm]\sum_{i=1}^n{i} = 1 + \dotsb + n = n + \dotsb + 1[/mm]
[mm]= (n + 1 - \red{1}) + (n + 1 - \red{2}) + \dotsb + n + 1 - \red{n}=\sum_{i=1}^n{(n+1-i)}[/mm]
Und das war letztlich Gauss' wunderschöne Idee, den nun gilt doch:
[mm]2\sum_{i=1}^n{i} = \left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{i} = \left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{(n+1-i)}[/mm]
Und wegen dem Kommutativgesetz der Addition
[mm]a_1 + b_1 + c_1 + a_2 + b_2 + c_2 = a_1 + a_2 + b_1 + b_2 + c_1 + c_2[/mm]
können wir nun die obigen Summen zusammenfassen:
[mm]\left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{(n+1-i)} = \sum_{i=1}^n{(i+n+1-i)} = \sum_{i=1}^n{(n+1)} = \underbrace{(n+1) + \dotsb + (n+1)}_{n\text{ mal}} = n(n+1) = \red{2k}[/mm]
Und jetzt nur noch eine letzte Umformung:
[mm]n(n+1) = 2k \gdw k = \frac{n(n+1)}{2}[/mm]
Das war's.
Viele Grüße
Karl
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