Aufgabe zum ZGS < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Sa 12.01.2008 | | Autor: | marcsn |
| Aufgabe | Ein Gerät enthalt ein elektronisches Element, dessen Funktionieren fur die Arbeit des Gerätes erforderlich ist. Fallt das Element aus, so wird dieses sofort durch ein Reserveelement ersetzt dieses
ggf. durch ein weiteres Reserveelement usw. Aufgrund langjähriger Erfahrung weiß man,dass die zufälligen Lebensdauern der einzelnen Elemente als stochastisch unabhängige und identischverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert u =50Std. und Standardabweichung o=10Std. modelliert werden können.
Bestimmen Sie (approximativ) die kleinst mögliche Anzahl von Reserveelementen, die erforderlich ist, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 0,99 eine ununterbrochene Arbeit des Gerätes über einen Zeitraum von 5000 Stunden zu garantieren.
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Hallo zusammen, hab hier eine Aufgabe zum Zentralen Grenzwertsatz, jedoch bisher noch nie etwas dazu gemacht. Hab da leider noch meine Probleme und bin für jede Hilfe dankbar.
Ich hab es bisher so probiert:
Aus dem Text geht hervor:
[mm]E[X_i]=50, \sigma=10[/mm]
und damit erhalte ich auch direkt : [mm]Var_(X_i)=100[/mm]
Es bezeichne [mm]S_n = X_1 +...+X_n[/mm]
dann ist dasjenige n gesucht, für welches gilt:
[mm]P[S_n>5000]\geq 0.99[/mm]
Es ist:
[mm]P[\bruch{S_n - n \cdot 50}{\wurzel{n\cdot 100}}>\bruch{5000 - n \cdot 50}{\wurzel{n\cdot 100}}]\geq 0.99[/mm]
und damit:
[mm]1-\Phi(\bruch{5000 - n \cdot 50}{\wurzel{n\cdot 100}})\geq 0.99 \gdw \Phi(\bruch{5000 - n \cdot 50}{\wurzel{n\cdot 100}})\leq 0.01[/mm]
und hier komm ich nicht weiter, da dies ja nicht stimmen kann.. Wir haben eine Tabelle zu der Aufgabe bekommen mit welcher wir die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Werte von PHI ablesen können. Die kleine da vorhandene ist allerding für PHI(0) mit 0.5.
Hab da oben also irgendwas falsch gemacht nur was und wie bekomm ich es richtig hin?
Gruß
Marc 
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Warum ist das wohl so? Könnte an der Symmetrie der zugrundeliegenden Dichte der Normalverteilung liegen, hmm? [mm]\Phi[/mm] ist ja das Integral über diese Dichte...
Wegen der Symmetrie ist [mm]\Phi(\ldots) \le 0,01 \gdw \Phi(- \ldots) \ge 0,99[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Sa 12.01.2008 | | Autor: | marcsn |
Hmm ja das habe ich ja oben ausgenutzt aber Werte kann ich dafür so trot
zdem nicht finden :
$ [mm] \Phi(\ldots) \le [/mm] 0,01 [mm] \gdw \Phi(- \ldots) \ge [/mm] 0,99 [mm] \gdw 1-\Phi(...) \ge [/mm] 0.99$
Oder seh ich grad den Wald vor lauter Bäumen nicht?
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> Oder seh ich grad den Wald vor lauter Bäumen nicht?
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Könnte sein... Was ich meinte war:
[mm]\Phi(\bruch{5000 - 50n}{\wurzel{100n}}) \le 0,01 \gdw \Phi(- \bruch{5000 - 50n}{\wurzel{100n}}) \ge 0,99 \gdw \Phi(\bruch{5n - 500}{\wurzel{n}}) \ge 0,99[/mm]
Das gilt ab etwa [mm]\Phi(2,33)[/mm], also
[mm]\bruch{5n - 500}{\wurzel{n}} \ge 2,33 [/mm]
Nach n auflösen und fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Sa 12.01.2008 | | Autor: | marcsn |
Auuu mannooomannn...
Ich hab ehrlich gesagt überhaupt nicht darauf geachtet wie das Argument von Phi aussieht... Ich wollte nur unter allen Umständen das "-" aus dem Phi raus haben und trotzdem was zum berechnen haben... Das man das "-" einfach mal verrechnet mit dem Argument kam mir nicht mal in den Sinn....
Vielen Dank )
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