Aufgabe zum Zwischenwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Sa 16.01.2016 | | Autor: | Twixi |
| Aufgabe | | Seien f,g:[a,b] [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] stetig mit g(x) [mm] \geq [/mm] 0 für x [mm] \in [/mm] [a,b] sowie [mm] \phi: [/mm] [a,b] [mm] \rightarrow [/mm] [a,b] messbar gegeben. Zeige: Es existiert ein z [mm] \in [/mm] [a,b], so dass [mm] \int_a^b \! f(\phi(x))g(x) \, \mathrm{d}x [/mm] = f(z) [mm] \int_a^b \! [/mm] g(x) [mm] \, \mathrm{d}x. [/mm] |
Hallo an alle,
ich würde gerne obige Aufgabe lösen, leider fällt mir dies etwas schwer und ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen.
Es sieht ganz danach aus, als müsse ich hier den Zwischenwertsatz anwenden, jedoch ist mir nicht wirklich klar, wie der Beweis genau aussehen soll.
Danke im Voraus
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Hiho,
die Aussage ist äquivalent zu:
Es existiert ein [mm] $z\in[a,b]$, [/mm] so dass [mm] $\int_a^b \left(f(\phi(x)) - f(z)\right)g(x)\,dx [/mm] = 0$
Nun ist $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$
Zeige also: Es existiert ein [mm] $z_1\in [/mm] [a,b]$, so dass [mm] $f(\phi(x)) [/mm] - [mm] f(z_1) \le [/mm] 0$ für [mm] $x\in [/mm] [a,b]$ und es existiert ein [mm] $z_2\in [/mm] [a,b]$ so dass [mm] $f(\phi(x)) [/mm] - [mm] f(z_1) \ge [/mm] 0$ für [mm] $x\in [/mm] [a,b]$.
Was folgt daraus für das Integral?
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 So 17.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Seien f,g:[a,b] [mm]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] stetig mit g(x) [mm]\geq[/mm]
> 0 für x [mm]\in[/mm] [a,b] sowie [mm]\phi:[/mm] [a,b] [mm]\rightarrow[/mm] [a,b]
> messbar gegeben. Zeige: Es existiert ein z [mm]\in[/mm] [a,b], so
> dass [mm]\int_a^b \! f(\phi(x))g(x) \, \mathrm{d}x[/mm] = f(z)
> [mm]\int_a^b \![/mm] g(x) [mm]\, \mathrm{d}x.[/mm]
> Hallo an alle,
>
> ich würde gerne obige Aufgabe lösen, leider fällt mir
> dies etwas schwer und ich hoffe, es kann mir jemand
> weiterhelfen.
> Es sieht ganz danach aus, als müsse ich hier den
> Zwischenwertsatz anwenden, jedoch ist mir nicht wirklich
> klar, wie der Beweis genau aussehen soll.
>
> Danke im Voraus
Sei $m:= [mm] \min \{f(t):t \in [a,b]\}$ [/mm] und $ M:= [mm] \max \{f(t):t \in [a,b]\}$. [/mm] Dann haben wir
$m [mm] \le f(\phi(x)) \le [/mm] M$ für alle x [mm] \in [/mm] [a,b],
also auch
$m g(x) [mm] \le f(\phi(x)) [/mm] g(x) [mm] \le [/mm] M g(x)$ für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Setzen wir $ [mm] A:=\int_a^b \! f(\phi(x))g(x) \, \mathrm{d}x [/mm] $ und $ [mm] B:=\int_a^b \! [/mm] g(x) [mm] \, \mathrm{d}x [/mm] $, so folgt
(*) $m *B [mm] \le [/mm] A [mm] \le [/mm] M*B$.
(Warum ?)
Ist B=0, so sind wir fertig. Sei also B [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist B>0 (warum ?) und aus (*) folgt
$m [mm] \le \bruch{A}{B} \le [/mm] M$
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 17.01.2016 | | Autor: | Twixi |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine super Antwort.
Zum 1. Warum: Die Ungleichung bleibt bei Betrachtung des Integrals der Funktionen auf dem Intervall [a,b] erhalten, richtig?
Zum 2. Warum: aus [mm] g(x)\ne [/mm] 0 folgt g(x)>0 folgt [mm] \int_a^b \! g(x)\,\mathrm{d}x>0, [/mm] richtig?
Eine Frage habe ich noch zur letzten Ungleichung: folgt aus $ m [mm] \le \bruch{A}{B} \le [/mm] M $, dass ein [mm] z\in[a,b] [/mm] existiert, so dass die zu zeigende Gleichung gilt, also quasi A=f(z)*B?
Lieben Dank auch an Gonozal_IX :)
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Hiho,
> Eine Frage habe ich noch zur letzten Ungleichung: folgt aus
> [mm]m \le \bruch{A}{B} \le M [/mm], dass ein [mm]z\in[a,b][/mm] existiert, so
> dass die zu zeigende Gleichung gilt, also quasi A=f(z)*B?
das ist ja gerade die zu zeigende Aussage.....
Was war nochmal m?
Was war nochmal M?
Was weißt du über stetige Funktionen auf kompakten Intervallen bezüglich m und M?
Was liefert dann der Zwischenwertsatz?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 17.01.2016 | | Autor: | Twixi |
m war das Minimum, M das Maximum. Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervallen ihr Maximum/Minimum an.
Der Zwischenwertsatz sagt, dass jeder Wert dazwischen angenommen wird.
Damit ist dann gezeigt, dass so ein z existiert?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Mo 18.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> m war das Minimum, M das Maximum. Stetige Funktionen nehmen
> auf kompakten Intervallen ihr Maximum/Minimum an.
> Der Zwischenwertsatz sagt, dass jeder Wert dazwischen
> angenommen wird.
> Damit ist dann gezeigt, dass so ein z existiert?!
Ja
Fred
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