Aufgabe zur Teilbarkeit < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Rätselfreunde,
im Gegensatz zum letzten Mal möchte ich jetzt mal eine etwas einfachere Aufgabe stellen.
Beweist doch bitte folgende Aussage:
Seien Z eine natürliche Zahl und Q ihre Quersumme. Dann sind äquivalent:
(1) Z+Q ist durch 9 teilbar
(2) Z ist durch 9 teilbar
Ich freue mich auf eure Vorschläge.
Hugo
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Hi
nette Aufgabe, wenn auch nicht wirklich kompliziert 
Stellen wir erstmal Q und Z etwas anderst dar:
[mm]Q=\summe_{k=1}^{n}x_k[/mm] mit $ 0 [mm] \le x_k [/mm] < 10 $
[mm]Z= \summe_{k=1}^{n}x_k*10^k = \summe_{k=1}^{n}x_k*(10^k-1) + \summe_{k=1}^{n}x_k[/mm]
Mit [mm]10-1|10^k-1^k\gdw9|10^k-1[/mm] folgt nun [mm]Z \equiv Q mod\, 9[/mm]
Und da $Z+Q [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] mod\,9 \gdw [/mm] 2Z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] mod\,9$ [/mm] und $ggT(2;9)=1$
ist $2Z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] mod\,9 \gdw [/mm] Z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] mod\,9 [/mm] $ q.e.d 
Ich hoffe mal, dass das soweit alles stimmt...
Gruß Samuel
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Hallo Samuel,
ja ich gebe zu, die Aufgabe war nicht soooo schwer.
Die extreme Kurzfassung ist:
Für jede Zahl ist die Differenz Z-Q teilbar durch 9. Deshalb sind entweder Z und Q beide durch 9 teilbar (und damit auch Z+Q) oder keines von beiden. Im zweiten Fall kann aber wegen ggT(9,2)=1 die Summe Z+Q ebenfalls nicht durch 9 teilbar sein.
Hugo
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