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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
wäre super, wenn jemand 2 Aufgaben für mich kontrollieren könnte un d mir bei der letzten helfen könnte:
a)
[mm] \integral_{0}^{2}{f(x^{3}4x+2) dx} [/mm] + [mm] \integral_{2}^{4}{f(x^{3}+4x+2)dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4}{f(x^{3}+4x+2) dx}=
[/mm]
[mm] [\bruch{1}{4}*x^{4}-2x^{2}+x]^{4}_{0}= (\bruch{1}{4}*4^{4}-2*4^{2}+4)-(\bruch{1}{4}*0^{4}-2*0^{2}+0)
[/mm]
=64-32+4=36
b)
[mm] \integral_{1}^{2}{f(4*x^{3}+9*x^{2}+x-3) dx} [/mm] +
[mm] \integral_{-2}^{1}{f(4*x^{3}+9*x^{2}+x-3) dx} [/mm] =
[mm] \integral_{-2}^{2}{f(4*x^{3}+9*x^{2}+x-3) dx}=[4*\bruch{1}{4}*x^{4}+9*\bruch{1}{3}*x^{3}+\bruch{1}{2}*x^{2}-3x]x^{2}x_{2}
[/mm]
= [mm] (2^{4}+3*2^{3}+\bruch{1}{2}*2^{2}-3*2) [/mm] - [mm] (-2^{4}+3*(-2)^{3}+\bruch{1}{2}*(-2)^{2}-3*(-2))
[/mm]
= (16+24+2-6) - (-16-24-2+6)
=32
c)
[mm] \integral_{-1}^{1}{f(x^{2}-2x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{3}^{2}{f(x^{2}-2x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{f(x^{2}-2x) dx}
[/mm]
Bei der Aufgabe weiß ich nicht wie ich vorgehen muss. Was mache ich mit der Addition und Subtraktion?
Edit:
Ich habe bei der c) 0 raus, aber das kann ja eigentlich nicht stimmen, dass A=0 ist, oder?
Meine Rechnung:
[mm] \integral_{-1}^{1}{f(x^{2}-2x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{3}^{2}{f(x^{2}-2x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{f(x^{2}-2x) dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{(x^{2}-2x) dx}=[\bruch{1}{3}*x^{3}-2*\bruch{1}{2}*x^{2}]^{2}_{-1}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{3}*2^{3}-2*\bruch{1}{2}*2^{2})-(\bruch{1}{3}*(-1)^{3}-2*\bruch{1}{2}*(-1)^{2})
[/mm]
=0
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
> a) [mm]\integral_{0}^{2}{f(x^{3}4x+2) dx}[/mm] + [mm]\integral_{2}^{4}{f(x^{3}+4x+2)dx}=[/mm] [mm]\integral_{0}^{4}{f(x^{3}+4x+2) dx}=[/mm]
> [mm][\bruch{1}{4}*x^{4}-2x^{2}+x]^{4}_{0}= (\bruch{1}{4}*4^{4}-2*4^{2}+4)-(\bruch{1}{4}*0^{4}-2*0^{2}+0)[/mm]
Bei der Stammfunktion ist Dir ein Faktor beim letzten Glied durchgerutscht. Es muss heißen:
$$... \ = \ [mm] \left[\bruch{1}{4}*x^{4}-2x^{2}+\red{2}*x\right]^{4}_{0} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
PS: Man schreibt die Integral ohne das [mm] $\integral_{0}^{2}{\red{f}(x^{3}+4x+2) dx}$ [/mm] , einfach nur [mm] $\integral_{0}^{2}{x^{3}+4x+2 \ dx}$ [/mm] .
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Sollst Du hier jeweils die entsprechenden Integrale ausrechnen oder die Flächeninhalte der Flächen zwischen Kurve und x-Achse?
Im ersten Falle kann man nämlich die Integrale gemäß folgender Regeln zusammenfassen und sich die Rechnung vereinfachen:
[mm] $$\integral_a^b{f(x) \ dx}+\integral_b^c{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_a^c{f(x) \ dx}$$
[/mm]
[mm] $$\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\integral_b^a{f(x) \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
> Sollst Du hier jeweils die entsprechenden Integrale
> ausrechnen oder die Flächeninhalte der Flächen zwischen
> Kurve und x-Achse?
Ich dachte, dass wenn man ein Integral ausrechnet, man damit den entsprechenden Flächeninhalt ausrechnen kann?!
> Im ersten Falle kann man nämlich die Integrale gemäß
> folgender Regeln zusammenfassen und sich die Rechnung
> vereinfachen:
> [mm]\integral_a^b{f(x) \ dx}+\integral_b^c{f(x) \ dx} \ = \ \integral_a^c{f(x) \ dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_a^b{f(x) \ dx} \ = \ -\integral_b^a{f(x) \ dx}[/mm]
Worauf bezieht sich das? Sind meine Aufgaben richtig ausgerechnet?
LG
Sarah
PS: Aufgabenstellung: "Berechne" 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
> Ich dachte, dass wenn man ein Integral ausrechnet, man
> damit den entsprechenden Flächeninhalt ausrechnen kann?!
Dann muss man aber auf die Nullstellen aufpassen und jeweils die Beträge der einzelnen Integrale nehmen, damit man die Flächeninhalte erhält.
Daher kann es auch sein, dass bei einer reinen Integralberechnung der Wert $0_$ ergibt, wenn sich die Flächen unter- und oberhalb der x-Achse genau aufheben.
"Flächenberechnung" ist nur eine von vielen Anwendungsbereichen der Integralrechnung.
> Worauf bezieht sich das? Sind meine Aufgaben richtig
> ausgerechnet?
Das habe ich nun nicht weiter verfolgt. Denn dann geht es darum, dass du Deine Integrale nach diesen Regeln erst zusammenfasst und vereinfachst.
Beispiel c:
[mm] $$\integral_{-1}^{1}{x^2-2x \ dx}-\integral_{3}^{2}{x^2-2x \ dx}+\integral_{1}^{2}{x^2-2x \ dx}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \integral_{-1}^{1}{x^2-2x \ dx}-\left( \ \integral_{2}^{3}{x^2-2x \ dx} \ \right)+\integral_{1}^{2}{x^2-2x \ dx}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \integral_{-1}^{1}{x^2-2x \ dx}+\integral_{2}^{3}{x^2-2x \ dx} +\integral_{1}^{2}{x^2-2x \ dx}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \integral_{-1}^{1}{x^2-2x \ dx} +\integral_{1}^{2}{x^2-2x \ dx}+\integral_{2}^{3}{x^2-2x \ dx}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \integral_{-1}^{3}{x^2-2x \ dx}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left[ \ \bruch{1}{3}x^3-x^2 \ \right]_{-1}^3 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar ,
> Beispiel c:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{x^2-2x \ dx}-\integral_{3}^{2}{x^2-2x \ dx}+\integral_{1}^{2}{x^2-2x \ dx}[/mm]
>
> [mm]= \ \integral_{-1}^{1}{x^2-2x \ dx}-\left( \ \integral_{2}^{3}{x^2-2x \ dx} \ \right)+\integral_{1}^{2}{x^2-2x \ dx}[/mm]
>
> [mm]= \ \integral_{-1}^{1}{x^2-2x \ dx}+\integral_{2}^{3}{x^2-2x \ dx} +\integral_{1}^{2}{x^2-2x \ dx}[/mm]
Heißt das, dass wenn eine Subtraktion vorliegt ich einfach nur a und b vertauschen muss, damit ich eine Addition habe?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 30.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es gilt ganz allgemein:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 29.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sarah,
ein paar Vorzeichen stimmen noch nicht:
> a)
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(x^{3}4x+2) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{2}^{4}{f(x^{3}+4x+2)dx}=[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{4}{f(x^{3}+4x+2) dx}=[/mm]
Dann hast du das Vorzeichen des zweiten Terms geändert:
[mm][\bruch{1}{4}*x^{4}\red{+}2x^{2}+\red{2}x]^{4}_{0}= (\bruch{1}{4}*4^{4}\red{+}2*4^{2}+\red{8})-(\bruch{1}{4}*0^{4}\red{+}2*0^{2}+0) = \red{104}[/mm]
> b)
> [mm]\integral_{1}^{2}{f(4*x^{3}+9*x^{2}+x-3) dx} + \integral_{-2}^{1}{f(4*x^{3}+9*x^{2}+x-3) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-2}^{2}{f(4*x^{3}+9*x^{2}+x-3)dx}=[4*\bruch{1}{4}*x^{4}+9*\bruch{1}{3}*x^{3}+\bruch{1}{2}*x^{2}-3x][/mm]
= [mm](2^{4}+3*2^{3}+\bruch{1}{2}*2^{2}-3*2) - (\red{(-2)}^{4}+3*(-2)^{3}+\bruch{1}{2}*(-2)^{2}-3*(-2))[/mm]
[mm] = (16+24+2-6) - (\red{+}16-24\red{+}2+6) = \red{36}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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