Aufgaben; geometrische Reihe 2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Fr 19.04.2013 | | Autor: | laraa |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [\bruch{(-5)^k}{7^k} [/mm] - 7 * [mm] \bruch{2^k}{9^k}] [/mm] |
So hier habe ich eine weitere Frage zur geometrischen Reihe.
Zunächst habe ich die erste Teilsumme berechnet also von [mm] \bruch{(-5)^k}{7^k}. [/mm] Da habe ich dann [mm] \bruch{7}{12}. [/mm] Und da ja k=1 ist müsste ich noch -1 rechnen, also [mm] \bruch{7}{12} [/mm] -1 = [mm] -\bruch{5}{12}.
[/mm]
Nun zur problematik von der 2. Teilsumme...
wenn ich jetzt [mm] 7*2^k [/mm] rechne erhalte ich ja [mm] 14^k. [/mm] Daraus folgt, dass [mm] q^k>1. [/mm] Wenn [mm] q^k>1, [/mm] dann ist diese Teilsumme divergent und läuft gegen [mm] \infty. [/mm] Weil k=1 müsste ich auch hier -1 rechnen.
Und wenn ich jetzt die erste Teilsumme Minus der zweiten Teilsumme rechne, dann erhalte ich doch zwangsläufig [mm] -\infty [/mm] -1 , somit ist die geometrische Reihe divergent und läuft gegen [mm] -\infty?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Fr 19.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} [\bruch{(-5)^k}{7^k}[/mm] - 7 *
> [mm]\bruch{2^k}{9^k}][/mm]
> So hier habe ich eine weitere Frage zur geometrischen
> Reihe.
>
> Zunächst habe ich die erste Teilsumme berechnet also von
> [mm]\bruch{(-5)^k}{7^k}.[/mm] Da habe ich dann [mm]\bruch{7}{12}.[/mm]
Du bekommst hier
[mm] $\frac{1}{1-\frac{5}{7}}=\frac{1}{\frac{2}{7}}=\frac{7}{2}$
[/mm]
>
> Nun zur problematik von der 2. Teilsumme...
>
> wenn ich jetzt [mm]7*2^k[/mm] rechne erhalte ich ja [mm]14^k.[/mm] Daraus
> folgt, dass [mm]q^k>1.[/mm] Wenn [mm]q^k>1,[/mm] dann ist diese Teilsumme
> divergent und läuft gegen [mm]\infty.[/mm]
Oh nein, [mm] 7\cdot2^{k}\ne14^{k}
[/mm]
Dazu fehlt der 2 die Potenz, es würde gelten
[mm] 2^{\red{k}}\cdot7^{k}=(2\cdot7)^{k}=14^{k}
[/mm]
Beachte, dass
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}7\cdot\frac{2^{k}}{9^{k}}=2\cdot\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{9}\right)^{k}$
[/mm]
Den Trick hat dir Fred doch in deiner ersten Anfrage zu dem Thema schon gegeben.
>
>
>
> Und wenn ich jetzt die erste Teilsumme Minus der zweiten
> Teilsumme rechne, dann erhalte ich doch zwangsläufig
> [mm]-\infty[/mm] , somit ist die geometrische Reihe divergent und
> läuft gegen [mm]-\infty?[/mm]
Das passt natürlich nun nicht mehr, da die beiden Teilgrenzwerte schon falsch sind.
EDIT: Beachte auch, dass die Summe bei k=1 anfängt, du musst also doch den Summanden für k=0 hinzufügen und subtrahieren, damit änderst du den Wert der Reihe ja nicht.
Beginne mit der Reihenumformung:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-5)^k}{7^k}-7\cdot\frac{2^k}{9^k}\right]$
[/mm]
Es gilt:
[mm] \frac{(-5)^0}{7^0}-7\cdot\frac{2^0}{9^0}=-6
[/mm]
Also
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-5)^k}{7^k}-7\cdot\frac{2^k}{9^k}\right]$
[/mm]
[mm] $=6-6+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-5)^k}{7^k}-7\cdot\frac{2^k}{9^k}\right]$
[/mm]
[mm] $=6+\sum\limits_{k=\red{0}}^{\infty}\left[\frac{(-5)^k}{7^k}-7\cdot\frac{2^k}{9^k}\right]$
[/mm]
Nun kannst du die Tipps von oben anwenden. Beachte aber die 6 vor der ganzen Reihe.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Fr 19.04.2013 | | Autor: | laraa |
Wieso ich bei der ersten Teilsumme [mm] \bruch{7}{2} [/mm] rausbekomme versteh ich nicht. Denn die allgemeine Formel lautet [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] entsprechend: [mm] \bruch{1}{1-\bruch{-5}{7}}, [/mm] da kommt dann [mm] \bruch{1}{\bruch{12}{7}} [/mm] = [mm] \bruch{7}{12}. [/mm] Und wenn ich jetzt noch k=1 beachte, muss ich diese [mm] \bruch{7}{12} [/mm] - 1 rechnen, da [mm] \bruch{-5^0}{7^0} [/mm] = 1 ist.
Wenn ich dann die zweite Teilsumme aufteile, dann erhalte ich 7 * [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^k}{9^k} [/mm] - 7*1
q wäre in dem fall [mm] \bruch{9}{7}.
[/mm]
Dann würde bei der zweiten Teilsumme 2 herauskommen.
Teilsumme 1 = [mm] -\bruch{5}{12} [/mm] Teilsumme 2 = 2
[mm] -\bruch{5}{12} [/mm] - 2 = -2 [mm] \bruch{5}{12}
[/mm]
oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Fr 19.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wieso ich bei der ersten Teilsumme [mm]\bruch{7}{2}[/mm] rausbekomme
> versteh ich nicht. Denn die allgemeine Formel lautet
> [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] entsprechend: [mm]\bruch{1}{1-\bruch{-5}{7}},[/mm] da
> kommt dann [mm]\bruch{1}{\bruch{12}{7}}[/mm] = [mm]\bruch{7}{12}.[/mm]
Du hast recht, das - hatte ich übersehen.
> Und
> wenn ich jetzt noch k=1 beachte, muss ich diese
> [mm]\bruch{7}{12}[/mm] - 1 rechnen, da [mm]\bruch{-5^0}{7^0}[/mm] = 1 ist.
Auch ok.
>
>
> Wenn ich dann die zweite Teilsumme aufteile, dann erhalte
> ich 7 * [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^k}{9^k}[/mm] - 7*1
>
> q wäre in dem fall [mm]\bruch{9}{7}.[/mm]
q sollte hier immer noch [mm] \frac{2}{9} [/mm] sein.
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\fra{2}{9}\right)^{k}$
[/mm]
[mm] $=-1+1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{9}\right)^{k}$
[/mm]
[mm] $=-1+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2}{9}\right)^{k}$
[/mm]
[mm] $=-1+\frac{1}{1-\frac{2}{9}}$
[/mm]
[mm] =\frac{2}{7}
[/mm]
>
> Dann würde bei der zweiten Teilsumme 2 herauskommen.
Ja
>
> Teilsumme 1 = [mm]-\bruch{5}{12}[/mm] Teilsumme 2 = 2
>
> [mm]-\bruch{5}{12}[/mm] - 2 = -2 [mm]\bruch{5}{12}[/mm]
>
>
> oder nicht?
Du bekommst also [mm] \frac{7}{12}-7\cdot\frac{2}{7}=-\frac{17}{12} [/mm] sofern ich mich jetzt nicht verrechnet habe.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 19.04.2013 | | Autor: | laraa |
Du hast jetzt den Fehler gemacht, dass du die [mm] \bruch{7}{12} [/mm] noch nicht mit -1 gerechnet. Das wäre dann [mm] -\bruch{5}{12}.
[/mm]
Entsprechend wäre das, das Ergebnis der ersten Teilsumme.
Und jetzt gilt ja nur noch, wenn beide Teilsummen berechnet sind, Teilsumme 1 - Teilsumme 2.
Also: [mm] -\bruch{5}{12} [/mm] - 2 = [mm] -2\bruch{5}{12}
[/mm]
wäre das Ergebnis dann immer noch konvergent oder ist es Automatisch divergent wenn das Ergebnis negativ ist?
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Hallo laraa,
> Du hast jetzt den Fehler gemacht, dass du die [mm]\bruch{7}{12}[/mm]
> noch nicht mit -1 gerechnet. Das wäre dann
> [mm]-\bruch{5}{12}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig, schließlich geht die Reihe bei $k=1$ los und nicht bei $k=0$
>
> Entsprechend wäre das, das Ergebnis der ersten Teilsumme.
Jo
>
> Und jetzt gilt ja nur noch, wenn beide Teilsummen berechnet
> sind, Teilsumme 1 - Teilsumme 2.
>
>
> Also: [mm]-\bruch{5}{12}[/mm] - 2 = [mm]-2\bruch{5}{12}[/mm]
>
>
> wäre das Ergebnis dann immer noch konvergent oder ist es
> Automatisch divergent wenn das Ergebnis negativ ist?
Was ist denn ein "konvergentes Ergebnis" ?
Die Ausgangsreihe ist natürlich konvergent, du hast doch gerade ihren Reihenwert ermittelt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Fr 19.04.2013 | | Autor: | laraa |
Die eigentliche Aufgabenstellung lautet, bestimme die Grenzwerte, falls möglich.
Wenn ich diese Summe bei Wolframalpha eingebe, dann sagt mir dieses, dass diese Summe divergent ist.
Aber da ich ja offenbar einen Grenzwert bestimmt habe, scheint diese Summe ja doch konvergent zu sein. Bisher dachte ich nämlich, dass konvergente Grenzwerte nur 0 oder größer sein können, aber nicht negativ.
Was wäre denn jetzt die Antwort? Die Summe ist konvergent und der Grenzwert befindet sich bei [mm] -2\bruch{5}{12}?
[/mm]
Grüße
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Hallo laraa!
> Was wäre denn jetzt die Antwort? Die Summe ist konvergent
> und der Grenzwert befindet sich bei [mm]-2\bruch{5}{12}?[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau!
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo nochmal,
> Die eigentliche Aufgabenstellung lautet, bestimme die
> Grenzwerte, falls möglich.
>
> Wenn ich diese Summe bei Wolframalpha eingebe, dann sagt
> mir dieses, dass diese Summe divergent ist.
Nein, tut er nicht. Ich habe es gerade ausprobiert, und er spuckt artig den Reihenwert, den wir auch ermittelt haben, aus ...
Gruß
schachuzipus
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